quad2d

计算二重数值积分 - tiled 方法

语法

q = quad2d(fun,a,b,c,d)

q = quad2d(fun,a,b,c,d,Name,Value)

[q,E] = quad2d(___)

说明

q = quad2d(fun,a,b,c,d) 逼近 fun(x,y) 在平面区域 $a \leq x \leq b$ 和 $c (x) \leq y \leq d (x)$ 上的积分。边界 c 和 d 均可为标量或函数句柄。

示例

q = quad2d(fun,a,b,c,d,Name,Value) 使用一个或多个 Name,Value 对组参量指定其他选项。例如，您可以指定 'AbsTol' 和 'RelTol' 来调整算法必须满足的误差阈值。

示例

[q,E] = quad2d(___) 还返回绝对误差 E = | q - I | 的逼近上限，其中 I 是积分的确切值。

示例

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计算二重积分

打开实时脚本

对以下方程求积分

$y \sin (x) + x \cos (y)$

区间为 $- π \leq x \leq 2 π$ 和 $0 \leq y \leq π$ 。

fun = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);
Q = quad2d(fun,pi,2*pi,0,pi)

Q = 
-9.8696

将结果与积分的真值 $- π^{2}$ 进行比较。

-pi^2

ans = 
-9.8696

位于积分边界具有奇异性的被积函数

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求以下函数的积分

${[{(x + y)}^{1 / 2} {(1 + x + y)}^{2}]}^{- 1}$

区间为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq 1 - x$ 。此被积函数在原点 (0,0) 是无限的，它位于积分区域的边界。

fun = @(x,y) 1./(sqrt(x + y) .* (1 + x + y).^2 );
ymax = @(x) 1 - x;
Q = quad2d(fun,0,1,0,ymax)

Q = 
0.2854

积分的真值为 $π / 4 - 1 / 2$ 。

pi/4 - 0.5

ans = 
0.2854

`quad2d` 的局限性

打开实时脚本

quad2d 首先将积分区域映射到矩形。如果区域没有四条边或它的某条边不能顺利映射到直线，对此区域求积分时必然出现问题。如果求积分失败，可以通过几种有用的方法补救：将 Singular 设置为其默认值 true，在笛卡尔坐标与极坐标之间切换，或将积分区域分为几个小块并将这些小块的积分结果相加。

例如：

fun = @(x,y)abs(x.^2 + y.^2 - 0.25);
c = @(x)-sqrt(1 - x.^2);
d = @(x)sqrt(1 - x.^2);
quad2d(fun,-1,1,c,d,'AbsTol',1e-8,...
    'FailurePlot',true,'Singular',false);

Warning: Reached the maximum number of function evaluations (2000). The result fails the global error test.

Figure contains an axes object. The axes object with title QUAD2D -- Areas Needing Refinement contains 2002 objects of type patch.

失败绘图显示两个问题区域，一个在点 (-1,0) 和 (1,0) 附近，一个在圆 $x^{2} + y^{2} = 0.25$ 附近。

将 Singular 的值更改为 true 能解决 (-1,0) 和 (1,0) 处的几何奇异点。较大的着色区域可能需要细化，但问题不大。

Q = quad2d(fun,-1,1,c,d,'AbsTol',1e-8, ... 
     'FailurePlot',true,'Singular',true);

Warning: Reached the maximum number of function evaluations (2000). The result passes the global error test.

Figure contains an axes object. The axes object with title QUAD2D -- Areas Needing Refinement contains 2024 objects of type patch.

从这里，您可以利用对称性：

Q = 4*quad2d(fun,0,1,0,d,'Abstol',1e-8,...
     'Singular',true,'FailurePlot',true)

Q = 
0.9817

但代码在奇异点附近仍然应对困难。它可能无法提供更高的准确度：

Q = 4*quad2d(fun,0,1,0,d,'Abstol',1e-10,...
     'Singular',true,'FailurePlot',true);

Warning: Reached the maximum number of function evaluations (2000). The result passes the global error test.

Figure contains an axes object. The axes object with title QUAD2D -- Areas Needing Refinement contains 2011 objects of type patch.

在更高准确度时，更改坐标可能更为奏效。

polarfun = @(theta,r) fun(r.*cos(theta),r.*sin(theta)).*r;
Q = 4*quad2d(polarfun,0,pi/2,0,1,'AbsTol',1e-10);

最好是通过将积分区域分为两个部分来将奇异点放在边界：

Q1 = 4*quad2d(polarfun,0,pi/2,0,0.5,'AbsTol',5e-11);
Q2 = 4*quad2d(polarfun,0,pi/2,0.5,1,'AbsTol',5e-11);
Q = Q1 + Q2;

输入参数

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`fun` — 求积分的函数
函数句柄

求积分的函数，指定为函数句柄。函数 Z = fun(X,Y) 必须接受大小相同的二维矩阵 X 和 Y，并返回包含相应值的矩阵 Z。因此，函数必须是向量化的（也就是说，必须使用按元素运算符，例如 .^；而不是矩阵运算符，例如 ^）。函数的输入和输出必须为单精度或双精度值。

示例: @(x,y) x.^2 - y.^2

数据类型: function_handle

`a,b` — 积分的 x 范围
标量

积分的 x 范围，指定为标量。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`c,d` — 积分的 y 范围
标量 | 函数句柄

积分的 y 范围，指定为标量或函数句柄。每个范围都可以指定为标量或函数句柄。如果将范围指定为函数句柄，则它们是积分 ymin = @x c(x) 和 ymax = @(x) d(x) 的 x 范围的函数。函数句柄 ymin 和 ymax 必须接受并返回大小相同、带有相应值的矩阵。函数的输入和输出必须为单精度或双精度值。

数据类型: single | double | function_handle
复数支持: 是

名称-值参数

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将可选的参量对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但参量对组的顺序无关紧要。

在 R2021a 之前，使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

示例: quad2d(@(x,y) x.*y.^2, 0, 1, 0, 2, 'AbsTol',1e-3) 将积分的绝对容差指定为 1e-3。

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-5` (默认) | 标量

绝对误差容限，以逗号分隔的对组形式指定，其中包含 'AbsTol' 和一个标量。

quad2d 尝试满足 ERRBND <= max(AbsTol,RelTol*|Q|)。如果 |Q| 足够小，这是绝对误差控制；如果 |Q| 较大，这是相对误差控制。未指定容差时使用默认容差。AbsTol 的默认值是 1e-5。RelTol 的默认值是 100*eps(class(Q))。这还是 RelTol 的最小值。较小的 RelTol 值会自动增大为默认值。

`RelTol` — 相对误差容限
`100*eps(class(q))` (默认) | 标量

相对误差容限，以逗号分隔的对组形式指定，其中包含 'RelTol' 和一个标量。

`MaxFunEvals` — `fun` 的最大计算次数
`2000` (默认) | 标量

fun 的最大计算次数，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'MaxFunEvals' 和一个标量。使用此选项可限制 quad2d 计算函数 fun 的次数。

`FailurePlot` — 开启或关闭生成失败绘图
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

开启或关闭生成失败绘图，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'FailurePlot' 和一个数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。将 FailurePlot 设置为 true 或 1，可在达到 MaxFunEvals 时生成需要进一步细化的区域的图形表示形式。如果在达到 MaxFunEvals 前成功计算积分，则不生成绘图。失败绘图包含（通常是）在内部映射到矩形的 4 条边的区域。聚集的小区域表示积分中的问题区域。

`Singular` — 开启或关闭转换边界奇异点
`true` 或 `1` (默认) | `false` 或 `0`

开启或关闭转换边界奇异点，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Singular' 和一个数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。默认情况下，quad2d 将利用转换削弱边界奇异点以提高性能。将 'Singular' 设置为 false 或 0 可禁用这些转换，为一些平滑问题提供性能优势。

输出参量

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`q` — 计算的积分
标量

计算的积分，以标量形式返回。

`E` — 误差边界
标量

误差边界，以标量形式返回。误差边界提供计算的积分 q 与积分 I 的精确值之间误差的上界，即 E = | q - I |。

参考

[1] L.F. Shampine, "MATLAB Program for Quadrature in 2D." Applied Mathematics and Computation. Vol. 202, Issue 1, 2008, pp. 266–274.

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

如果内部存储数组的大小不够大，生成的代码将发出警告消息。如果出现警告，可能的解决办法是将积分区域分为几个小块，并求每个小块的积分总和。

版本历史记录

在 R2009a 中推出

另请参阅

quadgk | integral | integral2 | integral3

quad2d

语法

说明

示例

计算二重积分

位于积分边界具有奇异性的被积函数

quad2d 的局限性

输入参数

fun — 求积分的函数 函数句柄

a,b — 积分的 x 范围 标量

c,d — 积分的 y 范围 标量 | 函数句柄

名称-值参数

AbsTol — 绝对误差容限 1e-5 (默认) | 标量

RelTol — 相对误差容限 100*eps(class(q)) (默认) | 标量

MaxFunEvals — fun 的最大计算次数 2000 (默认) | 标量

FailurePlot — 开启或关闭生成失败绘图 false 或 0 (默认) | true 或 1

Singular — 开启或关闭转换边界奇异点 true 或 1 (默认) | false 或 0

输出参量

q — 计算的积分 标量

E — 误差边界 标量

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

版本历史记录

另请参阅

主题

`quad2d` 的局限性

`fun` — 求积分的函数
函数句柄

`a,b` — 积分的 x 范围
标量

`c,d` — 积分的 y 范围
标量 | 函数句柄

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-5` (默认) | 标量

`RelTol` — 相对误差容限
`100*eps(class(q))` (默认) | 标量

`MaxFunEvals` — `fun` 的最大计算次数
`2000` (默认) | 标量

`FailurePlot` — 开启或关闭生成失败绘图
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

`Singular` — 开启或关闭转换边界奇异点
`true` 或 `1` (默认) | `false` 或 `0`

`q` — 计算的积分
标量

`E` — 误差边界
标量

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。