quadgk

计算数值积分 - 高斯-勒让德积分法

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语法

q = quadgk(fun,a,b)

[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b)

[___] = quadgk(fun,a,b,Name,Value)

说明

q = quadgk(fun,a,b) 使用高阶全局自适应积分和默认误差容限在 a 至 b 间对函数句柄 fun 求积分。

示例

[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b) 还返回绝对误差 |q - I| 的逼近上限，其中 I 是积分的确切值。

示例

[___] = quadgk(fun,a,b,Name,Value) 支持上述任一输出参量组合，且可使用一个或多个名称-值对组参量指定其他选项。例如，指定 'Waypoints'，后跟实数或复数向量，为要使用的积分器指示特定点。

示例

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在端点处具有奇异性的积分

打开实时脚本

计算积分

$q = \int_{0}^{1} e^{x} \ln (x) dx .$

此积分在 $x = 0$ 点处具有奇异性，因为 $\ln (0)$ 发散到 $- \infty$ 。

为被积函数创建一个匿名函数。log 函数计算 $\ln (x)$ 。

f = @(x) exp(x).*log(x);

在从 0 到 1 的区间上对 f 求积分。

q = quadgk(f,0,1)

q = 
-1.3179

复围道积分

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通过指定围道求复函数围绕极点的积分。

计算复围道积分

$q = \oint \frac{dz}{2 z - 1} .$

被积函数在 $z = 1 / 2$ 处有一个简单极点，因此使用包围该点的矩形围道。围道在实数线上的 $x = 1$ 处开始和结束。使用 'Waypoints' 名称-值对组指定围道中的分段。

f = @(z) 1./(2.*z-1);
contour_segments = [1+1i 0+1i 0-1i 1-1i];
q = quadgk(f,1,1,'Waypoints',contour_segments)

q = 
-0.0000 + 3.1416i

检查绝对误差

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使用 quadgk 计算难以计算的振荡被积函数。

计算积分

$Q = \int_{0}^{π} \sin (20000 π x) dx .$

被积函数振荡非常快，因此很难计算。使用 quadgk 计算积分，并指定两个输出来检查接近误差容限的程度。

fun = @(x) sin(2e4*pi*x);
[Q,errbnd] = quadgk(fun,0,pi)

Warning: Reached the limit on the maximum number of intervals in use. Approximate bound on error is  5.7e-01. The integral may not exist, or it may be difficult to approximate numerically. Increase MaxIntervalCount to 1272 to enable QUADGK to continue for another iteration.

Q = 
-0.0082

errbnd = 
0.5723

警告消息指示如何调整 MaxIntervalCount 以执行另一次求解迭代。

再次求解积分，但指定 MaxIntervalCount 为 1e5。在使用更多区间的情况下，quadgk 就能够满足问题的绝对误差容限（1e-10 表示双精度）。

[Q,errbnd] = quadgk(fun,0,pi,'MaxIntervalCount',1e5)

Q = 
1.6656e-06

errbnd = 
2.6323e-12

输入参数

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`fun` — 被积函数
函数句柄

被积函数，指定为函数句柄，用于定义求 a 至 b 的积分的函数。

对于标量值问题，函数 y = fun(x) 必须接受向量参量 x 并返回向量结果 y，其中 y 是被积函数在 x 的每个元素处的计算结果。此要求通常意味着 fun 必须使用数组运算符（.^、.* 等）而不是矩阵运算符（^、* 等）。

参数化函数解释了如何为函数 fun 提供其他参数（如果需要）。

示例: q = quadgk(@(x) exp(1-x.^2),a,b) 对匿名函数句柄进行积分。

示例: q = quadgk(@myFun,a,b) 对函数 myFun 进行积分，并保存为文件。

数据类型: function_handle

`a`, `b` — 积分范围（以两个参量指定）
标量

积分范围，以两个实数标量或复数标量参量指定。极限 a 和 b 可以是 -Inf 或 Inf。如果这两个范围都是有限值，它们可以是复数。如果至少一个是复数，则在复平面中的 a 至 b 之间沿直线路径近似求取积分。

示例: quadgk(fun,0,1) 从 0 到 1 对 fun 进行积分。

数据类型: single | double
复数支持: 是

名称-值参数

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以 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 的形式指定可选参量对组，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

在 R2021a 之前，使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

示例: q = quadgk(fun,a,b,'Waypoints',[0.1 1.1 2.1]) 使用 'Waypoints' 选项指定几个应计算被积函数的关注点。

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10`（双精度），`1e-5`（单精度） (默认) | 非负实数

绝对误差容限，指定为由 'AbsTol' 和非负实数组成的逗号分隔对组。quadgk 使用绝对误差容限来限制绝对误差估计值，即 |q – I|，其中 q 为计算的积分值，I 为（未知）确切值。如果减小绝对误差容限，quadgk 可以提供更多位小数的精度。

quadgk 尝试满足

errbnd <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))

如果 |q| 足够小，此关系是绝对误差控制；如果 |q| 较大，这是相对误差控制。要实现纯粹的绝对误差控制，请使用 'AbsTol' > 0 和 'RelTol'= 0。要实现纯粹的相对误差控制，请使用 'RelTol' > 0 和 'AbsTol' = 0。除使用纯粹的绝对误差控制这一情况外，最小相对误差为 'RelTol' >= 100*eps(class(q))。

示例: quadgk(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) 将绝对误差容限设置为约 12 位小数精度。

示例: quadgk(fun,a,b,'AbsTol',tol,'RelTol',0) 使用纯粹的绝对误差控制，要求 errbnd <= tol。

数据类型: single | double

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6`（双精度），`1e-4`（单精度） (默认) | 非负实数

相对误差容限，指定为由 'RelTol' 和非负实数组成的逗号分隔对组。quadgk 使用相对误差容限来限制相对误差容限估计值，即 |q - I|/|I|，其中 q 为计算的积分值，I 为（未知）确切值。如果减小相对误差容限，quadgk 可以为精度提供更多的有效数位。

quadgk 尝试满足

errbnd <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))

示例: quadgk(fun,a,b,'RelTol',1e-9) 将相对误差容限设置为约 9 位有效数位。

示例: quadgk(fun,a,b,'AbsTol',0,'RelTol',tol) 使用纯粹的相对误差容限，要求 errbnd <= |I|*tol。

数据类型: single | double

`Waypoints` — 积分路点
向量

积分路点，指定为由 'Waypoints' 和实数/复数的向量组成的逗号分隔对组。使用路点表示积分器将在初始网格中使用的积分区间中的点。

在关注的函数特征附近添加更多计算点，例如局部极值。
通过指定不连续点的位置，在被积函数的不连续点附近高效求积分。
通过指定复数作为路点来执行复围道积分。如果 xmin、xmax 或任何路点向量项为复数，则会在复平面中针对直线路径序列求积分。在本例中，所有积分范围和路点必须为有限值。

请勿使用路点指定奇异点。而应拆分区间，并在端点处将单独的积分结果与奇异点相加。

示例: 'Waypoints',[1+1i,1-1i] 指定了积分区间中的两个复数路点。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`MaxIntervalCount` — 允许的最大区间数
`650` (默认) | 标量

允许的最大区间数，指定为标量。此选项用于限制 quadgk 在第一次迭代后每一次迭代时所使用的区间数。如果 quadgk 由于此限制而提前返回，系统会发出警告。不建议常规性地增大该值，但当 errbnd 小到几乎达到所需的精确度时，这样做很合适。

示例: quadgk(fun,a,b,'MaxIntervalCount',700)

输出参量

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`q` — 积分的值
标量

积分的值，以标量形式返回。

`errbnd` — 绝对误差的近似上限
标量

绝对误差的近似上限，以标量形式返回。积分中绝对误差的近似上限是 errbnd = |q – I|，其中 q 是积分的计算值，I 是（未知的）精确值。quadgk 尝试满足

errbnd <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))

指定此输出参量，以查看积分在多大程度上满足 AbsTol 和 RelTol 误差容限。如果 errbnd 接近期望值，您可以通过增加 MaxIntervalCount 的值来达到该期望值。

提示

quadgk 和 integral 使用基本相同的积分方法。您通常应使用 integral 而不是 quadgk。不过，您可以使用 quadgk 执行以下操作：
- 使用 errbnd 输出参量监控解的准确度。
- 当 integral 警告达到最大区间数时，请为 MaxIntervalCount 指定较大的值。
如果奇异性不太强，quadgk 函数可对有限端点处奇异的函数求积分。例如，它可对在端点 c 处的行为类似于 log|x-c| 或 |x-c|^p（其中 p >= -1/2）的函数求积分。如果函数在积分范围 [a b] 内的各点上有奇异性，则在奇异点为端点的子区间上将积分写入为积分和，通过 quadgk 计算它们，并将结果相加。
如果区间是无限区间（例如 $[a, \infty)$ ），则要存在 fun(x) 的积分，fun(x) 必须在 x 接近无限大时衰减，并且 quadgk 要求它快速衰减。

参考

[1] Shampine, L.F. "Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB^®." Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 211, 2008, pp.131–140.

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

版本历史记录

在 R2007b 中推出

另请参阅

quad2d | integral | integral2 | integral3

quadgk

语法

说明

示例

在端点处具有奇异性的积分

复围道积分

检查绝对误差

输入参数

fun — 被积函数 函数句柄

a, b — 积分范围（以两个参量指定） 标量

名称-值参数

AbsTol — 绝对误差容限 1e-10（双精度），1e-5（单精度） (默认) | 非负实数

RelTol — 相对误差容限 1e-6（双精度），1e-4（单精度） (默认) | 非负实数

Waypoints — 积分路点 向量

MaxIntervalCount — 允许的最大区间数 650 (默认) | 标量

输出参量

q — 积分的值 标量

errbnd — 绝对误差的近似上限 标量

提示

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

版本历史记录

另请参阅

主题

`fun` — 被积函数
函数句柄

`a`, `b` — 积分范围（以两个参量指定）
标量

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10`（双精度），`1e-5`（单精度） (默认) | 非负实数

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6`（双精度），`1e-4`（单精度） (默认) | 非负实数

`Waypoints` — 积分路点
向量

`MaxIntervalCount` — 允许的最大区间数
`650` (默认) | 标量

`q` — 积分的值
标量

`errbnd` — 绝对误差的近似上限
标量

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。