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spline

三次方样条数据插值

说明

示例

s = spline(x,y,xq) 返回与 xq 中的查询点对应的插值 s 的向量。s 的值由 xy 的三次样条插值确定。

示例

pp = spline(x,y) 返回一个分段多项式结构体以用于 ppval 和样条实用工具 unmkpp

示例

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使用 spline 基于非均匀分布的样本点对正弦曲线插值。

x = [0 1 2.5 3.6 5 7 8.1 10];
y = sin(x);
xx = 0:.25:10;
yy = spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)

当端点斜率已知时,使用 clamped 或 complete 样条插值。为此,可以用两个额外元素指定值向量 y(一个元素在起点,一个元素在终点)以定义端点斜率。

创建一个由数据 y 组成的向量和另一个由数据的 x 坐标组成的向量。

x = -4:4;
y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0];

使用 spline 进行数据插值并绘制结果。用两个额外值 [0 y 0] 指定第二个输入,以表示端点斜率均为零。使用 ppval 计算在插值区间中的 101 个点上的样条拟合。

cs = spline(x,[0 y 0]);
xx = linspace(-4,4,101);
plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');

外插数据集以预测人口增长。

创建两个向量以表示从 1900 年至 1990 年的人口普查年 (t) 和相应的美国人口 (p)。

t = 1900:10:1990;
p = [ 75.995  91.972  105.711  123.203  131.669 ...
     150.697 179.323  203.212  226.505  249.633 ];

外插并使用三次样条预测 2000 年的人口。

spline(t,p,2000)
ans = 270.6060

使用带有标记 o 的五个数据点 y(:,2),...,y(:,6) 生成圆的绘图。矩阵 yx 多两列。因此,spline 使用 y(:,1)y(:,end) 作为端点斜率。圆在点 (1,0) 处开始和结束,因此该点被绘制两次。

x = pi*[0:.5:2]; 
y = [0  1  0 -1  0  1  0; 
     1  0  1  0 -1  0  1];
pp = spline(x,y);
yy = ppval(pp, linspace(0,2*pi,101));
plot(yy(1,:),yy(2,:),'-b',y(1,2:5),y(2,2:5),'or')
axis equal

使用样条曲线在更精细的网格上对函数采样。

为几个值生成的正弦和余弦曲线介于 0 和 1 之间。使用样条插值在更精细的网格上对函数采样。

x = 0:.25:1;
Y = [sin(x); cos(x)];
xx = 0:.1:1;
YY = spline(x,Y,xx);
plot(x,Y(1,:),'o',xx,YY(1,:),'-')
hold on
plot(x,Y(2,:),'o',xx,YY(2,:),':')
hold off

splinepchipmakima 为两个不同数据集生成的插值结果进行比较。这些函数都执行不同形式的分段三次 Hermite 插值。每个函数计算插值斜率的方式不同,因此它们在基础数据的平台区或波动处展现出不同行为。

对连接两个平台区的样本数据进行插值,并比较结果。创建由 x 值、点 y 处的函数值以及查询点 xq 组成的向量。使用 splinepchipmakima 计算查询点处的插值。绘制查询点处的插值函数值以进行比较。

x = -3:3; 
y = [-1 -1 -1 0 1 1 1]; 
xq1 = -3:.01:3;
p = pchip(x,y,xq1);
s = spline(x,y,xq1);
m = makima(x,y,xq1);
plot(x,y,'o',xq1,p,'-',xq1,s,'-.',xq1,m,'--')
legend('Sample Points','pchip','spline','makima','Location','SouthEast')

在本例中,pchipmakima 具有相似的行为,因为它们可以避免过冲,并且可以准确地连接平台区。

使用振动采样函数执行第二次比较。

x = 0:15;
y = besselj(1,x);
xq2 = 0:0.01:15;
p = pchip(x,y,xq2);
s = spline(x,y,xq2);
m = makima(x,y,xq2);
plot(x,y,'o',xq2,p,'-',xq2,s,'-.',xq2,m,'--')
legend('Sample Points','pchip','spline','makima')

当基础函数振荡时,splinemakima 能够比 pchip 更好地捕获点之间的移动,后者会在局部极值附近急剧扁平化。

输入参数

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x 坐标,指定为向量。向量 x 指定提供数据 y 的点。x 的元素必须是唯一的。

数据类型: single | double

在 x 坐标处的函数值,指定为数值向量、矩阵或数组。xy 通常具有相同的长度,但 y 也可以比 x 正好多出两个元素,用以指定端点斜率。

如果 y 是矩阵或数组,则在获取最后一个维度 y(:,...,:,j) 中的值时应使其匹配 x。在此情况下,y 的最后一个维度的长度必须与 x 相同或正好多出两个元素。

三次样条的端点斜率遵循以下规则:

  • 如果 xy 是大小相等的向量,则使用非节终止条件。

  • 如果 xy 为标量,则会将该标量扩展为与另一方具有相同的长度并使用非节终止条件。

  • 如果 y 是一个包含的值比 x 具有的条目多两个的向量,则 spline 使用 y 中的第一个和最后一个值作为三次样条的端点斜率。例如,如果 y 是一个向量,则:

    • y(2:end-1) 给出 x 中每个点处的函数值

    • y(1) 给出区间开始处 min(x) 的斜率

    • y(end) 给出区间结束处 max(x) 的斜率

  • 同样,如果 y 是一个矩阵或 size(y,N) 等于 length(x)+2N 维数组,则:

    • y(:,...,:,j+1) 给出 x 中每个点的函数值,其中 j = 1:length(x)

    • y(:,:,...:,1) 给出区间开始处 min(x) 的斜率

    • y(:,:,...:,end) 给出区间结束处 max(x) 的斜率

数据类型: single | double

查询点,指定为标量、向量、矩阵或数组。xq 中指定的点是 spline 计算出的插值函数值 yq 的 x 坐标。

数据类型: single | double

输出参数

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查询点处的插值,以标量、向量、矩阵或数组形式返回。

s 的大小与 yxq 的大小相关:

  • 如果 y 为向量,则 s 的大小与 xq 相同。

  • 如果 y 是大小为 Ny = size(y) 的数组,则下列条件适用:

    • 如果 xq 为标量或向量,则 size(s) 返回 [Ny(1:end-1) length(xq)]

    • 如果 xq 是数组,则 size(s) 返回 [Ny(1:end-1) size(xq)]

分段多项式,以结构体形式返回。将此结构体与 ppval 函数结合使用可计算一个或多个查询点处的分段多项式。该结构体包含以下字段。

字段说明
form

分段多项式'pp'

breaks

包含严格递增元素的长度为 L+1 的向量,这些元素代表  L 个区间中每个区间的开始点和结束点

coefs

L×k 矩阵,其中每行 coefs(i,:) 包含第 i 个区间 [breaks(i),breaks(i+1)]k 次多项式的局部系数

pieces

段数 L

order

多项式的阶

dim

目标的维度

由于 coefs 中的多项式系数是每个区间的本地系数,因此您必须减去对应节区间的较低端点,以使用传统多项式方程中的系数。换言之,对于区间 [x1,x2] 上的系数 [a,b,c,d],对应的多项式为

f(x)=a(xx1)3+b(xx1)2+c(xx1)+d.

提示

  • 也可以结合使用 interp1 函数与 interp1(x,y,xq,'spline') 命令来执行样条插值。spline 对输入矩阵的行执行插值,而 interp1 对输入矩阵的列执行插值。

算法

通过求解三对角线性方程组(可能具有多个右侧),获取所需信息来描述构成插值样条的各种三次多项式的系数。spline 使用函数 ppvalmkppunmkpp。这些例程组成可与分段多项式一起使用的一小套函数。要获得更多高级功能,请参阅 interp1 或 Curve Fitting Toolbox™ 样条函数。

参考

[1] de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag, New York: 1978.

扩展功能

另请参阅

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在 R2006a 之前推出