ss2tf

将状态空间表示形式转换为传递函数

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语法

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D)

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D,ni)

说明

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D) 将方程组的状态空间表示形式转换为等同的传递函数。ss2tf 返回连续时间方程组的拉普拉斯变换传递函数和离散时间方程组的 Z 变换传递函数。

示例

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D,ni) 返回当具有多个输入的方程组的第 ni 个输入受单位冲激影响时所生成的传递函数。

示例

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质点-弹簧系统

打开实时脚本

一维离散时间震荡系统由单位质点 $m$ 通过一根单位弹性常量弹簧连接到墙壁构成。传感器以 $F_{s} = 5$ Hz 对质量的加速度 $a$ 取样。

生成 50 个时间采样。定义采样间隔 $Δ t = 1 / F_{s}$ 。

Fs = 5;
dt = 1/Fs;
N = 50;
t = dt*(0:N-1);

振荡器可以通过状态空间方程描述。

$\begin{array}{c} x (k + 1) = A x (k) + B u (k), \\ y (k) = C x (k) + D u (k), \end{array}$

其中 $x = {(\begin{array}{c} r & v \end{array})}^{T}$ 是状态向量， $r$ 和 $v$ 分别是质点的位置和速度，而矩阵

$A = (\begin{array}{c} \cos Δ t & \sin Δ t \\ - \sin Δ t & \cos Δ t \end{array}), B = (\begin{array}{c} 1 - \cos Δ t \\ \sin Δ t \end{array}), C = (\begin{array}{c} - 1 & 0 \end{array}), D = (\begin{array}{c} 1 \end{array}) .$

A = [cos(dt) sin(dt);-sin(dt) cos(dt)];
B = [1-cos(dt);sin(dt)];
C = [-1 0];
D = 1;

系统使用正方向的单位冲激进行刺激。使用该状态空间模型计算系统从全零的初始状态开始的时间演进。

u = [1 zeros(1,N-1)];

x = [0;0];
for k = 1:N
    y(k) = C*x + D*u(k);
    x = A*x + B*u(k);
end

以时间函数形式绘制质量的加速度。

stem(t,y,'filled')
xlabel('t')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel t contains an object of type stem.

使用传递函数 H(z) 过滤输入以计算时间相关加速度。绘制结果。

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D);
yt = filter(b,a,u);

stem(t,yt,'filled')
xlabel('t')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel t contains an object of type stem.

系统的传递函数包含一个解析式：

$H (z) = \frac{1 - z^{- 1} (1 + \cos Δ t) + z^{- 2} \cos Δ t}{1 - 2 z^{- 1} \cos Δ t + z^{- 2}} .$

使用表达式过滤输入。绘制响应。

bf = [1 -(1+cos(dt)) cos(dt)];
af = [1 -2*cos(dt) 1];
yf = filter(bf,af,u);

stem(t,yf,'filled')
xlabel('t')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel t contains an object of type stem.

所有这三种情况下的结果都相同。

双体振荡器

打开实时脚本

理想的一维振荡系统由位于两面墙壁间的两个单位质点 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 组成。每个质点通过一根单位弹性常量弹簧连接到最近的墙壁。另外一根弹簧连接这两个质点。传感器以 $F_{s} = 16$ Hz 的频率对 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ （质点的加速度）采样。

将总测量时间指定为 16 秒。定义采样间隔 $Δ t = 1 / F_{s}$ 。

Fs = 16;
dt = 1/Fs;
N = 257;
t = dt*(0:N-1);

系统可以由状态空间模型描述

$\begin{array}{c} x (n + 1) = A x (n) + B u (n), \\ y (n) = C x (n) + D u (n), \end{array}$

其中 $x = {(\begin{array}{c} r_{1} & v_{1} & r_{2} & v_{2} \end{array})}^{T}$ 是状态向量， $r_{i}$ 和 $v_{i}$ 分别是第 $i$ 个质点的位置和速度。输入向量 $u = {(\begin{array}{c} u_{1} & u_{2} \end{array})}^{T}$ ，输出向量 $y = {(\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} \end{array})}^{T}$ 。状态空间矩阵为

$A = \exp (A_{c} Δ t), B = A_{c}^{- 1} (A - I) B_{c}, C = (\begin{array}{c} - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 2 & 0 \end{array}), D = I,$

连续时间状态空间矩阵为

$A_{c} = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 & 0 \end{array}), B_{c} = (\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}),$

$I$ 表示合适大小的单位矩阵。

Ac = [0 1 0 0; -2 0 1 0; 0 0 0 1; 1 0 -2 0];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0; 1 0; 0 0; 0 1];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [-2 0 1 0; 1 0 -2 0];
D = eye(2);

第一个质点 $m_{1}$ 接收正向的单位冲激。

ux = [1 zeros(1,N-1)];
u0 = zeros(1,N);
u = [ux;u0];

使用该模型计算系统从全零的初始状态开始的时间演进。

x = [0 0 0 0]';
y = zeros(2,N);

for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

以时间函数形式绘制两个质点的加速度。

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Figure contains an axes object. The axes object with title Mass 1 Excited, xlabel t contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

将系统转换为其传递函数表示形式。求得对第一个质点的正单位冲激刺激的系统响应。

[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
y1u1 = filter(b1(1,:),a1,ux);
y1u2 = filter(b1(2,:),a1,ux);

绘制结果。传递函数提供与状态空间模型相同的响应。

stem(t,[y1u1;y1u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Figure contains an axes object. The axes object with title Mass 1 Excited, xlabel t contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

系统将重置为其初始配置。现在，其他质点 $m_{2}$ 接收正向单位冲激。计算该系统的时间演进。

u = [u0;ux];

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

绘制加速度。将交换各个质点的响应。

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Figure contains an axes object. The axes object with title Mass 2 Excited, xlabel t contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

求得对第二个质点的正单位冲激刺激的系统响应。

[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);
y2u1 = filter(b2(1,:),a2,ux);
y2u2 = filter(b2(2,:),a2,ux);

绘制结果。传递函数提供与状态空间模型相同的响应。

stem(t,[y2u1;y2u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Figure contains an axes object. The axes object with title Mass 2 Excited, xlabel t contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

输入参数

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`A` — 状态矩阵
矩阵

状态矩阵，指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述，则 A 为 n×n。

数据类型: single | double

`B` — 输入-状态矩阵
矩阵

输入-状态矩阵，指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述，则 B 为 n×p。

数据类型: single | double

`C` — 状态-输出矩阵
矩阵

状态-输出矩阵，指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述，则 C 为 q×n。

数据类型: single | double

`D` — 馈通矩阵
矩阵

馈通矩阵，指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述，则 D 为 q×p。

数据类型: single | double

`ni` — 输入索引
1 (默认) | 整数标量

输入索引，指定为一个整数标量。如果方程组具有 p 个输入，请使用带尾部参量 ni = 1, …, p 的 ss2tf 计算对应用于第 ni 个输入的单位冲激的响应。

数据类型: single | double

输出参量

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`b` — 传递函数分子系数
向量 | 矩阵

传递函数分子系数，以向量或矩阵的形式返回。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述，则对于每个输入，b 为 q×(n + 1)。系数按 s 或 z 的幂的降序返回。

`a` — 传递函数分母系数
向量

传递函数分母系数，以向量的形式返回。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述，则对于每个输入，a 为 1×(n + 1)。系数按 s 或 z 的幂的降序返回。

详细信息

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传递函数

对于离散时间系统，状态空间矩阵通过

$\begin{matrix} x (k + 1) = A x (k) + B u (k) \\ y (k) = C x (k) + D u (k) . \end{matrix}$
与状态向量 x、输入 u 和输出 y 相关。
传递函数是方程组的冲激响应的 Z 变换。可以按状态空间矩阵表示形式将其表示为

$H (z) =C {(z I - A)}^{- 1} B + D .$
对于连续时间方程组，状态空间矩阵通过

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u . \end{array}$
与状态向量 x、输入 u 和输出 y 相关。
传递函数是方程组的冲激响应的拉普拉斯变换。可以按状态空间矩阵表示形式将其表示为

$H (s) = C {(s I - A)}^{- 1} B + D .$

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

ss2tf

语法

说明

示例

质点-弹簧系统

双体振荡器

输入参数

A — 状态矩阵 矩阵

B — 输入-状态矩阵 矩阵

C — 状态-输出矩阵 矩阵

D — 馈通矩阵 矩阵

ni — 输入索引 1 (默认) | 整数标量

输出参量

b — 传递函数分子系数 向量 | 矩阵

a — 传递函数分母系数 向量

详细信息

传递函数

版本历史记录

另请参阅

`A` — 状态矩阵
矩阵

`B` — 输入-状态矩阵
矩阵

`C` — 状态-输出矩阵
矩阵

`D` — 馈通矩阵
矩阵

`ni` — 输入索引
1 (默认) | 整数标量

`b` — 传递函数分子系数
向量 | 矩阵

`a` — 传递函数分母系数
向量