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ss2tf

将状态空间表示形式转换为传递函数

说明

示例

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D) 将方程组的状态空间表示形式转换为等同的传递函数。ss2tf 返回连续时间方程组的拉普拉斯变换传递函数和离散时间方程组的 Z 变换传递函数。

示例

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D,ni) 返回当具有多个输入的方程组的第 ni 个输入受单位脉冲影响时所生成的传递函数。

示例

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一维离散时间震荡系统由单位质点 m 通过一根单位弹性常量弹簧连接到墙壁构成。传感器以 Fs=5 Hz 对质量的加速度 a 取样。

生成 50 个时间样本。定义采样间隔 Δt=1/Fs

Fs = 5;
dt = 1/Fs;
N = 50;
t = dt*(0:N-1);

振荡器可以通过状态空间方程描述。

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),y(k)=Cx(k)+Du(k),

其中 x=(rv)T 是状态向量,rv 分别是质点的位置和速度,而矩阵

A=(cosΔtsinΔt-sinΔtcosΔt),B=(1-cosΔtsinΔt),C=(-10),D=(1).

A = [cos(dt) sin(dt);-sin(dt) cos(dt)];
B = [1-cos(dt);sin(dt)];
C = [-1 0];
D = 1;

系统使用正方向的单位脉冲进行刺激。使用该状态空间模型计算系统从全零的初始状态开始的时间演进。

u = [1 zeros(1,N-1)];

x = [0;0];
for k = 1:N
    y(k) = C*x + D*u(k);
    x = A*x + B*u(k);
end

以时间函数形式绘制质量的加速度。

stem(t,y,'filled')
xlabel('t')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stem.

使用传递函数 H(z) 筛选输入以计算时间相关的加速度。绘制结果。

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D);
yt = filter(b,a,u);
stem(t,yt,'filled')
xlabel('t')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stem.

系统的传递函数包含一个解析式:

H(z)=1-z-1(1+cosΔt)+z-2cosΔt1-2z-1cosΔt+z-2.

使用表达式筛选输入。绘制响应。

bf = [1 -(1+cos(dt)) cos(dt)];
af = [1 -2*cos(dt) 1];
yf = filter(bf,af,u);
stem(t,yf,'filled')
xlabel('t')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stem.

所有这三种情况下的结果都相同。

理想的一维振荡系统由位于两面墙壁间的两个单位质点 m1m2 组成。每个质点通过一根单位弹性常量弹簧连接到最近的墙壁。另外一根弹簧连接这两个质点。传感器以 Fs=16 Hz 的频率对 a1a2(质点的加速度)采样。

将总测量时间指定为 16 秒。定义采样间隔 Δt=1/Fs

Fs = 16;
dt = 1/Fs;
N = 257;
t = dt*(0:N-1);

系统可以由状态空间模型描述

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n),y(n)=Cx(n)+Du(n),

其中 x=(r1v1r2v2)T 是状态向量,rivi 分别是第 i 个质点的位置和速度。输入向量 u=(u1u2)T,输出向量 y=(a1a2)T。状态空间矩阵为

A=exp(AcΔt),B=Ac-1(A-I)Bc,C=(-201010-20),D=I,

连续时间状态空间矩阵为

Ac=(0100-2010000110-20),Bc=(00100001),

I 表示合适大小的单位矩阵。

Ac = [0 1 0 0;-2 0 1 0;0 0 0 1;1 0 -2 0];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0;1 0;0 0;0 1];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [-2 0 1 0;1 0 -2 0];
D = eye(2);

第一个质点 m1 接收正向的单位脉冲。

ux = [1 zeros(1,N-1)];
u0 = zeros(1,N);
u = [ux;u0];

使用该模型计算系统从全零的初始状态开始的时间演进。

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

以时间函数形式绘制两个质点的加速度。

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Figure contains an axes. The axes with title Mass 1 Excited contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

将系统转换为其传递函数表示形式。求得对第一个质点的正单位脉冲刺激的系统响应。

[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
y1u1 = filter(b1(1,:),a1,ux);
y1u2 = filter(b1(2,:),a1,ux);

绘制结果。传递函数提供与状态空间模型相同的响应。

stem(t,[y1u1;y1u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Figure contains an axes. The axes with title Mass 1 Excited contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

系统将重置为其初始配置。现在,其他质点 m2 接收正向单位脉冲。计算该系统的时间演进。

u = [u0;ux];

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

绘制加速度。将交换各个质点的响应。

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Figure contains an axes. The axes with title Mass 2 Excited contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

求得对第二个质点的正单位脉冲刺激的系统响应。

[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);
y2u1 = filter(b2(1,:),a2,ux);
y2u2 = filter(b2(2,:),a2,ux);

绘制结果。传递函数提供与状态空间模型相同的响应。

stem(t,[y2u1;y2u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Figure contains an axes. The axes with title Mass 2 Excited contains 2 objects of type stem. These objects represent a_1, a_2.

输入参数

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状态矩阵,指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述,则 A 为 n×n。

数据类型: single | double

输入-状态矩阵,指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述,则 B 为 n×p。

数据类型: single | double

状态-输出矩阵,指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述,则 C 为 q×n。

数据类型: single | double

馈通矩阵,指定为矩阵。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述,则 D 为 q×p。

数据类型: single | double

输入索引,指定为一个整数标量。如果方程组具有 p 个输入,请使用带尾部参数 ni = 1, …, p 的 ss2tf 计算对应用于第 ni 个输入的单位脉冲的响应。

数据类型: single | double

输出参数

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传递函数分子系数,以向量或矩阵的形式返回。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述,则对于每个输入,b 为 q×(n + 1)。系数按 s 或 z 的幂的降序返回。

传递函数分母系数,以向量的形式返回。如果方程组具有 p 个输入和 q 个输出并且由 n 个状态变量描述,则对于每个输入,a 为 1×(n + 1)。系数按 s 或 z 的幂的降序返回。

详细信息

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传递函数

  • 对于离散时间系统,状态空间矩阵通过

    x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k).

    与状态向量 x、输入 u 和输出 y 相关。

    传递函数是方程组的脉冲响应的 Z 变换。可以按状态空间矩阵表示形式将其表示为

    H(z)=C(zIA)1B+D.

  • 对于连续时间方程组,状态空间矩阵通过

    x˙=Ax+Buy=Cx+Du.

    与状态向量 x、输入 u 和输出 y 相关。

    传递函数是方程组的脉冲响应的拉普拉斯变换。可以按状态空间矩阵表示形式将其表示为

    H(s)=C(sIA)1B+D.

另请参阅

(Signal Processing Toolbox) | (Signal Processing Toolbox) | (Signal Processing Toolbox) | (Signal Processing Toolbox) | (Signal Processing Toolbox) | (Signal Processing Toolbox)

在 R2006a 之前推出