int

定义一个一元表达式。

syms x
expr = -2*x/(1+x^2)^2;

求该一元表达式的不定积分。

F = int(expr)

F = 
$$\frac{1}{x^2+1}$$

定义一个包含变量 x 和 z 的多元函数。

syms x z
f(x,z) = x/(1+z^2);

求该多元表达式关于变量 x 和 z 的不定积分。

Fx = int(f,x)

Fx(x, z) = 
$$\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\left(z^2+1\right)}$$

Fz = int(f,z)

Fz(x, z) = $$x\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(z\right)$$

如果您不指定积分变量，则 int 使用 symvar 返回的第一个变量作为积分变量。

var = symvar(f,1)

var = $$x$$

F = int(f)

F(x, z) = 
$$\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\left(z^2+1\right)}$$

计算一个符号表达式从 0 到 1 的积分。

syms x
expr = x*log(1+x);
F = int(expr,[0 1])

F = 
$$\frac{1}{4}$$

计算另一个表达式从 sin(t) 到 1 的积分。

syms t
F = int(2*x,[sin(t) 1])

F = $${\cos \left(t\right)}^2$$

当 int 无法计算定积分的值时，使用 vpa 对积分进行数值近似计算。

syms x
f = cos(x)/sqrt(1 + x^2);
Fint = int(f,x,[0 10])

Fint = 
$${\int }_0^{10}\frac{\cos \left(x\right)}{\sqrt{x^2+1}}\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

Fvpa = vpa(Fint)

Fvpa = $$0.37570628299079723478493405557162$$

要直接进行近似积分计算，请使用 vpaintegral 而不是 vpa。vpaintegral 函数计算速度更快，并且可以控制积分容差。

Fvpaint = vpaintegral(f,x,[0 10])

Fvpaint = $$0.375706$$

定义一个包含四个表达式作为其元素的符号矩阵。

syms a t
M = [exp(t) exp(a*t); sin(t) cos(t)]

M = 
$$\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& {\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}\\ \sin \left(t\right)& \cos \left(t\right)\end{array}\right)$$

对该矩阵的每个元素求不定积分。

F = int(M,t)

F = 
$$\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^t& \frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}}{a}\\ -\cos \left(t\right)& \sin \left(t\right)\end{array}\right)$$

定义一个符号函数并计算其不定积分。

syms f(x)
f(x) = acos(cos(x));
F = int(f,x)

F(x) = 
$$x\hspace{0.17em}\mathrm{acos}\left(\cos \left(x\right)\right)-\frac{x^2}{2\hspace{0.17em}\mathrm{sign}\left(\sin \left(x\right)\right)}$$

默认情况下，int 遵循严格的数学规则。这些规则不允许 int 将 acos(cos(x)) 重写为 x。

如果您想要简单实用的解，请将 IgnoreAnalyticConstraints 设置为 true。

F = int(f,x,IgnoreAnalyticConstraints=true)

F(x) = 
$$\frac{x^2}{2}$$

定义一个符号表达式 ${\mathit{x}}^{\mathit{t}}$ 并计算其关于变量 $$x$$ 的不定积分。

syms x t
F = int(x^t,x)

F = 
$$\{\begin{array}{cl}\log \left(x\right)& \text{ if }t=-1\\ \frac{x^{t+1}}{t+1}& \text{ if }t\ne -1\end{array}$$

默认情况下，int 会返回适用于另一个符号参数 t 的所有值的通用结果。在此示例中，int 针对 $$t=-1$$ 和 $$t\ne -1$$ 时的情况返回两个积分结果。

要忽略参数值的特殊情况，请将 IgnoreSpecialCases 设置为 true。启用此选项，int 会忽略特殊情况 $$t=-1$$，并返回 $$t\ne -1$$ 时的解。

F = int(x^t,x,IgnoreSpecialCases=true)

F = 
$$\frac{x^{t+1}}{t+1}$$

定义一个在 $$x=1$$ 处有极点的符号函数 $$f(x)=1/(x-1)$$。

syms x
f(x) = 1/(x-1)

f(x) = 
$$\frac{1}{x-1}$$

计算此函数从 $$x=0$$ 到 $$x=2$$ 的定积分。由于积分区间包含极点，因此结果未定义。

F = int(f,[0 2])

F = $$\mathrm{NaN}$$

然而，积分的柯西主值存在。要计算积分的柯西主值，请将 PrincipalValue 设置为 true。

F = int(f,[0 2],PrincipalValue=true)

F = $$0$$

求 $\int \mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathit{dx}$ 的积分。

通过将 Hold 选项设置为 true，定义积分而不对其进行计算。

syms x g(y)
F = int(x*exp(x),Hold=true)

F = 
$$\int x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

您可以使用 integrateByParts 函数对 F 应用分部积分。使用 exp(x) 作为要积分的微分。

G = integrateByParts(F,exp(x))

G = 
$$x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-\int {\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

要计算 G 中的积分，请使用 release 函数忽略 Hold 选项。

Gcalc = release(G)

Gcalc = $$x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x$$

将结果与未设置 Hold 选项时由 int 返回的积分结果进行比较。

Fcalc = int(x*exp(x))

Fcalc = $${\mathrm{e}}^x\hspace{0.17em}\left(x-1\right)$$

如果 int 无法计算积分的封闭形式，则它将返回未求解的积分。

syms f(x)
f(x) = sin(sinh(x));
F = int(f,x)

F(x) = 
$$\int \sin \left(\sinh \left(x\right)\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

您可以通过泰勒展开将被积函数 $$f(x)$$ 近似表示为多项式。应用 taylor 在 $$x=0$$ 附近将被积函数 $$f(x)$$ 展开为多项式。计算近似多项式的积分。

fTaylor = taylor(f,x,ExpansionPoint=0,Order=10)

fTaylor(x) = 
$$\frac{x^9}{5670}-\frac{x^7}{90}-\frac{x^5}{15}+x$$

Fapprox = int(fTaylor,x)

Fapprox(x) = 
$$\frac{x^{10}}{56700}-\frac{x^8}{720}-\frac{x^6}{90}+\frac{x^2}{2}$$

定义一个三维空间中的向量场。

syms x y z
F(x,y,z) = [x^2*y*z; x*y; 2*y*z]

F(x, y, z) = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}^2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}z\\ x\hspace{0.17em}y\\ 2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}z\end{array}\right)$$

接下来，定义一条参数化曲线。

syms t real
rx(t) = sin(t);
ry(t) = cos(t);
rz(t) = t;
r(t) = [rx; ry; rz]

r(t) = 
$$\left(\begin{array}{c}\sin \left(t\right)\\ \cos \left(t\right)\\ t\end{array}\right)$$

向量场 $\mathit{F}$ 沿由 $\mathit{r}\left(t\right)$ 参数化的曲线 $\mathit{C}$ 的线积分定义为

其中运算符 $\cdot$ 表示标量积。

使用此定义计算该向量场沿参数化曲线 $\mathit{r}\left(t\right)$ 从 $t=-5$ 到 $t=5$ 的线积分。

drdt = diff(r(t),t);
integrand = dot(F(rx,ry,rz),drdt);
W = int(integrand,t,[-5,5])

W = 
$$-\frac{2\hspace{0.17em}{\sin \left(5\right)}^3}{3}$$