damp

固有频率和阻尼比

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语法

damp(sys)
[wn,zeta] = damp(sys)
[wn,zeta,p] = damp(sys)
___ = damp(___,Name=Value)

说明

damp(sys) 显示线性模型 sys 的极点的阻尼比、固有频率和时间常数。对于离散时间模型，表中还会包含每个极点的幅值。极点按频率值升序排列。

示例

[wn,zeta] = damp(sys) 返回 sys 的极点的固有频率 wn 和阻尼比 zeta。

示例

[wn,zeta,p] = damp(sys) 还返回 sys 的极点 p。

示例

___ = damp(___,Name=Value) 基于一个或多个指定的名称-值参量，计算稀疏模型 sys 的极点子集的阻尼比和固有频率。如果您不指定任何名称-值参量，该函数最多可计算幅值最小的前 1000 个极点的阻尼比和固有频率。当 sys 是非稀疏模型时，该函数会忽略名称-值参量。 (自 R2025a 起)

示例

示例

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对于此示例，假设有以下连续时间传递函数：

sys(s)=2s2+5s+1s3+2s-3.

创建以下连续时间传递函数。

sys = tf([2,5,1],[1,0,2,-3]);

显示 sys 的固有频率、阻尼比、时间常数和极点。 

damp(sys)
                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
  1.00e+00                -1.00e+00       1.00e+00        -1.00e+00    
 -5.00e-01 + 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    
 -5.00e-01 - 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00

sys 的极点包含一个不稳定极点和一对位于 s 平面左半部分的复共轭极点。不稳定极点对应的阻尼比为 -1（这应被称为驱动力而非阻尼力，因为它会增大系统的振荡，导致系统不稳定）。

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对于此示例，假设有以下离散时间传递函数，其采样时间为 0.01 秒：

sys(z)=5z2+3z+1z3+6z2+4z+4.

创建以下离散时间传递函数。 

sys = tf([5 3 1],[1 6 4 4],0.01)
sys =
 
     5 z^2 + 3 z + 1
  ---------------------
  z^3 + 6 z^2 + 4 z + 4
 
Sample time: 0.01 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties

使用 damp 命令显示关于 sys 的极点的信息。 

damp(sys)
                                                                                    
         Pole             Magnitude     Damping       Frequency      Time Constant  
                                                    (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                                    
 -3.02e-01 + 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -3.02e-01 - 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -5.40e+00                 5.40e+00    -4.73e-01       3.57e+02        -5.93e-03

Magnitude 列显示离散时间极点的幅值。Damping、Frequency 和 Time Constant 列显示基于等效连续时间极点计算得到的值。

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对于此示例，创建一个具有两个输出和一个输入的离散时间零极点增益模型。使用 0.1 秒的采样时间。

sys = zpk({0;-0.5},{0.3;[0.1+1i,0.1-1i]},[1;2],0.1)
sys =
 
  From input to output...
          z
   1:  -------
       (z-0.3)
 
            2 (z+0.5)
   2:  -------------------
       (z^2 - 0.2z + 1.01)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
Model Properties

计算零极点增益模型 sys 的固有频率和阻尼比。

[wn,zeta] = damp(sys)
wn = 3×1

   12.0397
   14.7114
   14.7114


zeta = 3×1

    1.0000
   -0.0034
   -0.0034

wn 和 zeta 中的每个条目均对应 sys 中 I/O 的总数量。zeta 按 wn 中的固有频率值升序排列。

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对于此示例，计算以下状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点：

A=[-2-11-2],B=[112-1],C=[10],D=[01].

使用状态空间矩阵创建状态空间模型。

A = [-2 -1;1 -2];
B = [1 1;2 -1];
C = [1 0];
D = [0 1];
sys = ss(A,B,C,D);

使用 damp 计算 sys 的固有频率、阻尼比和极点。

[wn,zeta,p] = damp(sys)
wn = 2×1

    2.2361
    2.2361


zeta = 2×1

    0.8944
    0.8944


p = 2×1 complex

  -2.0000 + 1.0000i
  -2.0000 - 1.0000i

sys 的极点是位于 s 平面左半部分的复共轭极点。对应的阻尼比小于 1。因此，sys 是欠阻尼系统。

自 R2025a 起

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对于此示例，计算光学滤波器的稀疏状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点。对于稀疏状态空间模型，您可以在感兴趣的频率范围内确定已计算极点子集的阻尼比。

加载该模型。

load sparseFilter.mat
size(sys)
Sparse state-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 1668 states.

稀疏模型通常规模较大，计算所有极点可能不可行或计算成本较高。默认情况下，damp 函数最多计算幅值最小的前 1000 个极点。

[wn,zeta,p] = damp(sys);
size(p)
ans = 1×2

        1000           1

为避免计算大量极点，您可以指定其他选项（例如感兴趣的频率范围）。通常指定一个低频带，函数仅会计算固有频率在该范围内的极点。

damp(sys,Focus=[10 1000]);
                                                           
   Pole        Damping       Frequency      Time Constant  
                           (rad/seconds)      (seconds)    
                                                           
 -3.76e+01     1.00e+00       3.76e+01         2.66e-02    
 -7.78e+02     1.00e+00       7.78e+02         1.29e-03    
 -7.92e+02     1.00e+00       7.92e+02         1.26e-03

输入参数

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线性动态系统，指定为 SISO 或 MIMO 动态系统模型。您可以使用的动态系统包括：

  • 连续时间或离散时间数值 LTI 模型，如 tf、zpk 或 ss 模型。

  • 广义或不确定的 LTI 模型，如 genss 或 uss (Robust Control Toolbox) 模型。（使用不确定模型需要 Robust Control Toolbox™ 软件。）

    damp 假设：

    • 对于可调控制设计模块，采用可调组件的当前值。

    • 对于不确定的控制设计模块，采用标称模型值。

如果 sys 是稀疏状态空间模型（sparss 或 mechss），软件会在指定的关注频带内计算极点子集的阻尼比和固有频率。对于稀疏模型，请使用名称-值参量来指定计算选项。如果您不指定任何选项，软件最多可计算幅值最小的前 1000 个极点。对于带瑞利阻尼的 mechss 模型，软件根据 (K,M) 的特征值计算极点。否则，软件会根据等效的 sparss 模型计算极点。 (自 R2025a 起)

名称-值参数

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以 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 的形式指定可选参量对组，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: [wn,zeta] = damp(sparseSys,Focus=[0 10],Display="off")

自 R2025a 起

感兴趣的频率范围，指定为 [fmin,fmax] 形式的向量。当您指定关注的频率范围时，算法仅会计算固有频率在此范围内的极点。对于离散时间模型，软件通过突斯汀变换来逼近等效的固有频率。

对于对称半正定稀疏模型，您可以指定任意满足 0 ≤ fmin < fmax ≤ ∞ 的频率范围。对于非对称 sparss 模型，您必须指定频率范围为 [0,fmax] 或 [fmin,inf]。

由于软件会计算指定频率范围内的所有极点，因此您通常会指定一个低频范围来限制计算大量极点。默认情况下，不指定关注的频率范围 ([0 Inf])，并且算法最多计算 MaxNumber 个极点。

自 R2025a 起

要计算的零极点的最大数目，指定为正整数。此值限制算法计算的极点的数目。

自 R2025a 起

频谱偏移，指定为有限标量。

软件通过对 A-sigma*E 使用逆幂迭代法，计算固有频率在指定范围 [0,fmax] 内的极点，从而获得最接近偏移量 sigma 的特征值。当 A 为奇异矩阵且 sigma 为零时，由于不存在逆矩阵，算法会失败。因此，对于具有积分作用的稀疏模型（s = 0，或对于离散时间模型，在 z = 1 时），您可以使用此选项将极点或零点隐式地偏移至最接近此偏移值的值。指定的偏移值需不等于原始模型的现有极点值。

自 R2025a 起

计算的极点的精度容差，指定为正有限标量。此值控制逆幂迭代中计算得到的特征值的收敛。

自 R2025a 起

显示或隐藏进度报告，指定为 "off" 或 "on"。

输出参量

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sys 的每个极点的固有频率，以按频率值升序排列的向量形式返回。频率以 sys 的 TimeUnit 属性的倒数为单位表示。

如果 sys 是指定采样时间的离散时间模型，wn 包含等效连续时间极点的固有频率。如果未指定采样时间，damp 会假定采样时间为 1，并据此计算 wn。有关详细信息，请参阅算法。

每个极点的阻尼比，以与 wn 按相同顺序排序的向量形式返回。

如果 sys 是指定采样时间的离散时间模型，zeta 包含等效连续时间极点的阻尼比。如果未指定采样时间，damp 会假定采样时间为 1，并据此计算 zeta。有关详细信息，请参阅算法。

动态系统模型的极点，以与 wn 按相同顺序排序的向量形式返回。p 与 pole(sys) 的输出相同，仅排序顺序不同。有关极点的详细信息，请参阅pole。

算法

damp 按下表定义计算系统极点的固有频率、时间常数和阻尼比：

 连续时间采样时间为 Ts 的离散时间
极点位置

s

z

等效连续时间极点

Not applicable

s=ln(z)Ts

固有频率

ωn=|s|

ωn=|s|=|ln(z)Ts|

阻尼比

ζ=−cos(∠s)

ζ=−cos(∠s)=−cos(∠ln(z))

时间常数

τ=1ωnζ

τ=1ωnζ

如果未指定采样时间，damp 会假定采样时间为 1，并据此计算 zeta。

对于稀疏状态空间模型，软件使用 Krylov-Schur 算法 [1] 进行逆幂迭代，以计算指定频带内的极点。 (自 R2025a 起)

参考

[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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另请参阅

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