damp

R2026a

固有频率和阻尼比

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语法

damp(sys)

[wn,zeta] = damp(sys)

[wn,zeta,p] = damp(sys)

___ = damp(___,Name=Value)

描述

damp(sys) 显示线性模型 sys 的极点的阻尼比、固有频率和时间常数。对于离散时间模型，表中还会包含每个极点的幅值。极点按频率值升序排列。

示例

[wn,zeta] = damp(sys) 返回 sys 的极点的固有频率 wn 和阻尼比 zeta。

示例

[wn,zeta,p] = damp(sys) 还返回 sys 的极点 p。

示例

___ = damp(___,Name=Value) 基于一个或多个指定的名称-值参量，计算稀疏模型 sys 的极点子集的阻尼比和固有频率。如果您不指定任何名称-值参量，该函数最多可计算幅值最小的前 1000 个极点的阻尼比和固有频率。当 sys 是非稀疏模型时，该函数会忽略名称-值参量。 (自 R2025a 起)

示例

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显示连续时间系统的固有频率、阻尼比和极点

打开实时脚本

对于此示例，假设有以下连续时间传递函数：

$s y s (s) = \frac{2 s^{2} + 5 s + 1}{s^{3} + 2 s - 3} .$

创建以下连续时间传递函数。

sys = tf([2,5,1],[1,0,2,-3]);

显示 sys 的固有频率、阻尼比、时间常数和极点。

damp(sys)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
  1.00e+00                -1.00e+00       1.00e+00        -1.00e+00    
 -5.00e-01 + 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    
 -5.00e-01 - 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00

sys 的极点包含一个不稳定极点和一对位于 s 平面左半部分的复共轭。不稳定极点对应的阻尼比为 -1（这应被称为驱动力而非阻尼力，因为它会增大系统的振荡，导致系统不稳定）。

显示离散时间系统的固有频率、阻尼比和极点

打开实时脚本

对于此示例，假设有以下离散时间传递函数，其采样时间为 0.01 秒：

$s y s (z) = \frac{5 z^{2} + 3 z + 1}{z^{3} + 6 z^{2} + 4 z + 4}$ .

创建以下离散时间传递函数。

sys = tf([5 3 1],[1 6 4 4],0.01)

sys =
 
     5 z^2 + 3 z + 1
  ---------------------
  z^3 + 6 z^2 + 4 z + 4
 
Sample time: 0.01 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties

使用 damp 命令显示关于 sys 的极点的信息。

damp(sys)

                                                                                    
         Pole             Magnitude     Damping       Frequency      Time Constant  
                                                    (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                                    
 -3.02e-01 + 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -3.02e-01 - 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -5.40e+00                 5.40e+00    -4.73e-01       3.57e+02        -5.93e-03

Magnitude 列显示离散时间极点的幅值。Damping、Frequency 和 Time Constant 列显示基于等效连续时间极点计算得到的值。

零极点增益模型的固有频率和阻尼比

打开实时脚本

对于此示例，创建一个具有两个输出和一个输入的离散时间零极点增益模型。使用 0.1 秒的采样时间。

sys = zpk({0;-0.5},{0.3;[0.1+1i,0.1-1i]},[1;2],0.1)

sys =
 
  From input to output...
          z
   1:  -------
       (z-0.3)
 
            2 (z+0.5)
   2:  -------------------
       (z^2 - 0.2z + 1.01)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
Model Properties

计算零极点增益模型 sys 的固有频率和阻尼比。

[wn,zeta] = damp(sys)

zeta = 3×1

    1.0000
   -0.0034
   -0.0034

wn 和 zeta 中的每个条目均对应 sys 中 I/O 的总数量。zeta 按 wn 中的固有频率值升序排列。

计算状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点

打开实时脚本

对于此示例，计算以下状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点：

$A = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} - 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array}], B = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}], C = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 0 \end{array}], D = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0 & 1 \end{array}] .$

使用状态空间矩阵创建状态空间模型。

A = [-2 -1;1 -2];
B = [1 1;2 -1];
C = [1 0];
D = [0 1];
sys = ss(A,B,C,D);

使用 damp 计算 sys 的固有频率、阻尼比和极点。

[wn,zeta,p] = damp(sys)

zeta = 2×1

    0.8944
    0.8944

p = 2×1 complex

  -2.0000 + 1.0000i
  -2.0000 - 1.0000i

sys 的极点是位于 s 平面左半部分的复共轭。对应的阻尼比小于 1。因此，sys 是欠阻尼系统。

计算指定频率范围内稀疏模型的阻尼比和极点

自 R2025a 起

打开实时脚本

对于此示例，计算光学滤波器的稀疏状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点。对于稀疏状态空间模型，您可以在感兴趣的频率范围内确定已计算极点子集的阻尼比。

加载该模型。

load sparseFilter.mat
size(sys)

Sparse state-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 1668 states.

稀疏模型通常规模较大，计算所有极点可能不可行或计算成本较高。默认情况下，damp 函数最多计算幅值最小的前 1000 个极点。

[wn,zeta,p] = damp(sys);
size(p)

ans = 1×2

        1000           1

为避免计算大量极点，您可以指定其他选项（例如感兴趣的频率范围）。通常指定一个低频带，函数仅会计算固有频率在该范围内的极点。

damp(sys,Focus=[10 1000]);

                                                           
   Pole        Damping       Frequency      Time Constant  
                           (rad/seconds)      (seconds)    
                                                           
 -3.76e+01     1.00e+00       3.76e+01         2.66e-02    
 -7.78e+02     1.00e+00       7.78e+02         1.29e-03    
 -7.92e+02     1.00e+00       7.92e+02         1.26e-03

输入参数

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`sys` — 线性动态系统
动态系统模型

线性动态系统，指定为 SISO 或 MIMO 动态系统模型。您可以使用的动态系统包括：

连续时间或离散时间数值 LTI 模型，如 tf、zpk 或 ss 模型。
广义或不确定的 LTI 模型，如 genss 或 uss (Robust Control Toolbox) 模型。（使用不确定模型需要 Robust Control Toolbox™ 软件。）
damp 假设：
- 对于可调控制设计模块，采用可调组件的当前值。
- 对于不确定的控制设计模块，采用标称模型值。

如果 sys 是稀疏状态空间模型（sparss 或 mechss），软件会在指定的关注频带内计算极点子集的阻尼比和固有频率。对于稀疏模型，请使用名称-值参量来指定计算选项。如果您不指定任何选项，软件最多可计算幅值最小的前 1000 个极点。对于带瑞利阻尼的 mechss 模型，软件根据 (K,M) 的特征值计算极点。否则，软件会根据等效的 sparss 模型计算极点。 (自 R2025a 起)

名称-值参数

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以 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 的形式指定可选参量对组，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: [wn,zeta] = damp(sparseSys,Focus=[0 10],Display="off")

`Focus` — 感兴趣的频率范围
`[0 Inf]` (默认) | 向量

自 R2025a 起

感兴趣的频率范围，指定为 [fmin,fmax] 形式的向量。当您指定关注的频率范围时，算法仅会计算固有频率在此范围内的极点。对于离散时间模型，软件通过突斯汀变换来逼近等效的固有频率。

对于对称半正定稀疏模型，您可以指定任意满足 0 ≤ fmin < fmax ≤ ∞ 的频率范围。对于非对称 sparss 模型，您必须指定频率范围为 [0,fmax] 或 [fmin,inf]。

由于软件会计算指定频率范围内的所有极点，因此您通常会指定一个低频范围来限制计算大量极点。默认情况下，不指定关注的频率范围 ([0 Inf])，并且算法最多计算 MaxNumber 个极点。

`MaxNumber` — 要计算的零极点的最大数目
`1000` (默认) | 正整数

自 R2025a 起

要计算的零极点的最大数目，指定为正整数。此值限制算法计算的极点的数目。

`Shift` — 频谱偏移
`0` (默认) | 有限标量

自 R2025a 起

频谱偏移，指定为有限标量。

软件通过对 A-sigma*E 使用逆幂迭代法，计算固有频率在指定范围 [0,fmax] 内的极点，从而获得最接近偏移量 sigma 的特征值。当 A 为奇异矩阵且 sigma 为零时，由于不存在逆矩阵，算法会失败。因此，对于具有积分作用的稀疏模型（s = 0，或对于离散时间模型，在 z = 1 时），您可以使用此选项将极点或零点隐式地偏移至最接近此偏移值的值。指定的偏移值需不等于原始模型的现有极点值。

`Tolerance` — 计算的极点的精度
`1e-12` (默认) | 正有限标量

自 R2025a 起

计算的极点的精度容差，指定为正有限标量。此值控制逆幂迭代中计算得到的特征值的收敛。

`Display` — 显示或隐藏进度报告
`"on"` (默认) | `"off"`

自 R2025a 起

显示或隐藏进度报告，指定为 "off" 或 "on"。

输出参量

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`wn` — 每个极点的固有频率
向量

sys 的每个极点的固有频率，以按频率值升序排列的向量形式返回。频率以 sys 的 TimeUnit 属性的倒数为单位表示。

如果 sys 是指定采样时间的离散时间模型，wn 包含等效连续时间极点的固有频率。如果未指定采样时间，damp 会假定采样时间为 1，并据此计算 wn。有关详细信息，请参阅算法。

`zeta` — 每个极点的阻尼比
向量

每个极点的阻尼比，以与 wn 按相同顺序排序的向量形式返回。

如果 sys 是指定采样时间的离散时间模型，zeta 包含等效连续时间极点的阻尼比。如果未指定采样时间，damp 会假定采样时间为 1，并据此计算 zeta。有关详细信息，请参阅算法。

`p` — 动态系统模型的极点
向量

动态系统模型的极点，以与 wn 按相同顺序排序的向量形式返回。p 与 pole(sys) 的输出相同，仅排序顺序不同。有关极点的详细信息，请参阅pole。

算法

damp 按下表定义计算系统极点的固有频率、时间常数和阻尼比：

	连续时间	采样时间为 Ts 的离散时间
极点位置	$s$	$z$
等效连续时间极点	$Not applicable$	$s = \frac{l n (z)}{T_{s}}$
固有频率	$ω_{n} = \| s \|$	$ω_{n} = \| s \| = \| \frac{l n (z)}{T_{s}} \|$
阻尼比	$ζ = - c o s (∠ s)$	$\begin{array}{l} ζ & = - c o s (∠ s) & = - c o s (∠ l n (z)) \end{array}$
时间常数	$τ = \frac{1}{ω_{n} ζ}$	$τ = \frac{1}{ω_{n} ζ}$

连续时间

采样时间为 Ts 的离散时间

极点位置

$s$

$z$

等效连续时间极点

$Not applicable$

$s = \frac{l n (z)}{T_{s}}$

固有频率

$ω_{n} = | s |$

$ω_{n} = | s | = | \frac{l n (z)}{T_{s}} |$

阻尼比

$ζ = - c o s (∠ s)$

$\begin{array}{l} ζ & = - c o s (∠ s) & = - c o s (∠ l n (z)) \end{array}$

时间常数

$τ = \frac{1}{ω_{n} ζ}$

如果未指定采样时间，damp 会假定采样时间为 1，并据此计算 zeta。

对于稀疏状态空间模型，软件使用 Krylov-Schur 算法 [1] 进行逆幂迭代，以计算指定频带内的极点。 (自 R2025a 起)

参考

[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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R2025a: 稀疏模型支持：计算感兴趣的频率范围内的极点的子集

现在，对于稀疏状态空间模型，您可以计算指定的感兴趣频率范围内的极点子集。默认情况下，函数会计算幅值最小的前 1000 个极点。为避免计算大量极点，您可以使用新语法 [wn,z,p] = damp(sparseSys,Name=Value) 指定选项，例如感兴趣的频率范围或要计算的极点的最大数目。

R2023b: 输出行为发生了变化

当系统存在零极点或无穷极点时，damp 函数的输出行为发生了变化。

现在，该函数会返回以下数值。

连续时间
极点位置固有频率阻尼比
0 0 –1
Inf Inf –1
离散时间
极点位置固有频率阻尼比
0 Inf +1
1 0 –1
Inf Inf –1

极点位置	固有频率	阻尼比
`0`	`0`	`–1`
`Inf`	`Inf`	`–1`

极点位置	固有频率	阻尼比
`0`	`Inf`	`+1`
`1`	`0`	`–1`
`Inf`	`Inf`	`–1`

从数值上看，稳定无穷极点与不稳定无穷极点无差异。因此，函数将所有无穷极点视为不稳定极点。

此前版本中，函数在这些情况下会返回 NaN。

另请参阅

damp

语法

描述

示例

显示连续时间系统的固有频率、阻尼比和极点

显示离散时间系统的固有频率、阻尼比和极点

零极点增益模型的固有频率和阻尼比

计算状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点

计算指定频率范围内稀疏模型的阻尼比和极点

输入参数

sys — 线性动态系统 动态系统模型

名称-值参数

Focus — 感兴趣的频率范围 [0 Inf] (默认) | 向量

MaxNumber — 要计算的零极点的最大数目 1000 (默认) | 正整数

Shift — 频谱偏移 0 (默认) | 有限标量

Tolerance — 计算的极点的精度 1e-12 (默认) | 正有限标量

Display — 显示或隐藏进度报告 "on" (默认) | "off"

输出参量

wn — 每个极点的固有频率 向量

zeta — 每个极点的阻尼比 向量

p — 动态系统模型的极点 向量

算法

参考

版本历史记录

R2025a: 稀疏模型支持：计算感兴趣的频率范围内的极点的子集

R2023b: 输出行为发生了变化

另请参阅

`sys` — 线性动态系统
动态系统模型

`Focus` — 感兴趣的频率范围
`[0 Inf]` (默认) | 向量

`MaxNumber` — 要计算的零极点的最大数目
`1000` (默认) | 正整数

`Shift` — 频谱偏移
`0` (默认) | 有限标量

`Tolerance` — 计算的极点的精度
`1e-12` (默认) | 正有限标量

`Display` — 显示或隐藏进度报告
`"on"` (默认) | `"off"`

`wn` — 每个极点的固有频率
向量

`zeta` — 每个极点的阻尼比
向量

`p` — 动态系统模型的极点
向量