Main Content

本页的翻译已过时。点击此处可查看最新英文版本。

标量函数的根

对一元非线性方程求解

fzero 函数尝试求一个一元方程的根。可以通过用于指定起始区间的单元素起点或双元素向量调用该函数。如果为 fzero 提供起点 x0fzero 将首先搜索函数更改符号的点周围的区间。如果找到该区间,fzero 返回函数更改符号的位置附近的值。如果未找到此类区间,fzero 返回 NaN。或者,如果知道函数值的符号不同的两个点,可以使用双元素向量指定该起始区间;fzero 保证缩小该区间并返回符号更改处附近的值。

以下部分包含两个示例,用于说明如何使用起始区间和起点查找函数的零元素。这些示例使用由 MATLAB® 提供的函数 humps.m。下图显示了 humps 的图。

x = -1:.01:2;
y = humps(x);
plot(x,y)
xlabel('x');
ylabel('humps(x)')
grid on

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

fzero 设置选项

可以通过设置选项控制 fzero 函数的多个方面。使用 optimset 设置选项。选项包括:

使用起始区间

humps 的图指示 x = -1 时函数为负数,x = 1 时函数为正数。可以通过计算这两点的 humps 进行确认。

humps(1)
ans = 16
humps(-1)
ans = -5.1378

因此,可以将 [-1 1] 用作 fzero 的起始区间。

fzero 的迭代算法可求 [-1 1] 越来越小的子区间。对于每个子区间,humps 在两个端点的符号不同。由于子区间的端点彼此越来越近,因此它们收敛到 humps 的零位置。

要显示 fzero 在每个迭代过程中的进度,请使用 optimset 函数将 Display 选项设置为 iter

options = optimset('Display','iter');

然后如下所示调用 fzero

a = fzero(@humps,[-1 1],options)
 
 Func-count    x          f(x)             Procedure
    2              -1      -5.13779        initial
    3       -0.513876      -4.02235        interpolation
    4       -0.513876      -4.02235        bisection
    5       -0.473635      -3.83767        interpolation
    6       -0.115287      0.414441        bisection
    7       -0.115287      0.414441        interpolation
    8       -0.132562    -0.0226907        interpolation
    9       -0.131666    -0.0011492        interpolation
   10       -0.131618   1.88371e-07        interpolation
   11       -0.131618   -2.7935e-11        interpolation
   12       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   13       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
 
Zero found in the interval [-1, 1]
a = -0.1316

每个值 x 代表迄今为止最佳的端点。Procedure 列向您显示每步的算法是使用对分还是插值。

可以通过输入以下内容验证 a 中的函数值是否接近零:

humps(a)
ans = 8.8818e-16

起点的使用

假定您不知道 humps 的函数值符号不同的两点。在这种情况下,可以选择标量 x0 作为 fzero 的起点。fzero 先搜索函数更改符号的点附近的区间。如果 fzero 找到此类区间,它会继续执行上一部分中介绍的算法。如果未找到此类区间,fzero 返回 NaN

例如,将起点设置为 -0.2,将 Display 选项设置为 Iter,并调用 fzero

options = optimset('Display','iter');
a = fzero(@humps,-0.2,options)
 
Search for an interval around -0.2 containing a sign change:
 Func-count    a          f(a)             b          f(b)        Procedure
    1            -0.2      -1.35385          -0.2      -1.35385   initial interval
    3       -0.194343      -1.26077     -0.205657      -1.44411   search
    5          -0.192      -1.22137        -0.208       -1.4807   search
    7       -0.188686      -1.16477     -0.211314      -1.53167   search
    9          -0.184      -1.08293        -0.216      -1.60224   search
   11       -0.177373     -0.963455     -0.222627      -1.69911   search
   13          -0.168     -0.786636        -0.232      -1.83055   search
   15       -0.154745      -0.51962     -0.245255      -2.00602   search
   17          -0.136     -0.104165        -0.264      -2.23521   search
   18        -0.10949      0.572246        -0.264      -2.23521   search
 
Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:
 Func-count    x          f(x)             Procedure
   18        -0.10949      0.572246        initial
   19       -0.140984     -0.219277        interpolation
   20       -0.132259    -0.0154224        interpolation
   21       -0.131617   3.40729e-05        interpolation
   22       -0.131618  -6.79505e-08        interpolation
   23       -0.131618  -2.98428e-13        interpolation
   24       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   25       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
 
Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]
a = -0.1316

每个迭代中当前子区间的端点列在标题 ab 下,而端点处的相应 humps 值分别列在 f(a)f(b) 下。

注意:端点 ab 未按任何特定顺序列出:a 可能大于 b 或小于 b

对于前 9 步,humps 的符号在当前子区间的两端点都为负号,如输出中所示。在第 10 步,humps 的符号在 a (-0.10949) 处为正号,但在 b (-0.264) 处为负号。从该点开始,如上一部分中所述,算法继续缩小区间 [-0.10949 -0.264],直到它达到值 -0.1316

相关主题