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ldl

埃尔米特不定矩阵的分块 LDL 分解

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    语法

    [L,D] = ldl(A)
    [L,D] = ldl(A,triangle)
    [L,D,P] = ldl(___)
    [L,D,P] = ldl(___,outputForm)
    [L,D,P] = ldl(S)
    [L,D,P,C] = ldl(S)
    [L,D,P,C] = ldl(S,tol)
    [___] = ldl(___,triangle)
    [___] = ldl(___,outputForm)

    说明

    满数据

    示例

    [L,D] = ldl(A) 将满矩阵 A 分解为置换的下三角矩阵 L 和满足 A = L*D*L' 的分块对角矩阵 D。

    示例

    [L,D] = ldl(A,triangle)（其中 triangle 是 "upper"）使用 A 的上三角形来计算分解。默认情况下，triangle 是 "lower"，它使用 A 的下三角形来计算分解。

    示例

    [L,D,P] = ldl(___) 还返回满足 P'*A*P = L*D*L' 的置换矩阵。您可以使用上述语法中的任何输入参量组合。

    示例

    [L,D,P] = ldl(___,outputForm) 以 outputForm 指定的形式返回置换信息。将 outputForm 指定为 "vector"，以向量形式返回置换信息。

    稀疏数据

    [L,D,P] = ldl(S) 为实稀疏矩阵 S 返回满足 P'*S*P = L*D*L' 的下三角因子、分块对角因子和置换信息。

    示例

    [L,D,P,C] = ldl(S) 还返回满足 P'*C*S*C*P = L*D*L' 的缩放矩阵。此语法仅适用于稀疏矩阵输入。

    [L,D,P,C] = ldl(S,tol) 指定分解 S 算法中的主元容差。

    [___] = ldl(___,triangle)（其中 triangle 是 "upper"）使用实稀疏矩阵 S 的上三角形来计算分解。默认情况下，triangle 是 "lower"，它使用 S 的下三角形来计算分解。对于稀疏矩阵，您可以使用上述语法中的任何输入和输出参量组合。

    [___] = ldl(___,outputForm) 以 outputForm 指定的形式返回置换信息。将 outputForm 指定为 "vector"，以向量形式返回置换信息。

    示例

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    使用具有三个输出参量的 ldl 函数计算 3×3 矩阵的完整 LDL 分解。

    A = [2 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 1];
[L1,D1,P1] = ldl(A)
    L1 = 3×3

    1.0000         0         0
   -0.5000    1.0000         0
         0   -0.6667    1.0000


    D1 = 3×3

    2.0000         0         0
         0    1.5000         0
         0         0    0.3333


    P1 = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

    通过指定两个输出参量，将置换矩阵 P 合并到 L 因子中。此处，L2 等于 P1*L1。

    [L2,D2] = ldl(A)
    L2 = 3×3

    1.0000         0         0
   -0.5000    1.0000         0
         0   -0.6667    1.0000


    D2 = 3×3

    2.0000         0         0
         0    1.5000         0
         0         0    0.3333


    P1*L1
    ans = 3×3

    1.0000         0         0
   -0.5000    1.0000         0
         0   -0.6667    1.0000
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    通过执行 LDL 分解并使用因子来简化问题，对线性系统求解。比较通过使用反斜杠运算符、ldl 函数和 decomposition 对象获得的解。

    创建一个 3×3 矩阵和 3×1 向量，并使用反斜杠运算符求解线性系统 A*x = b。

    A = [2 -3 4; -3 2 -3; 4 -3 1];
b = [1; 0; 0];
x1 = A\b
    x1 = 3×1

   -0.4118
   -0.5294
    0.0588

    计算 A 的 LDL 分解。使用因子求解系统。由于 P'*A*P = L*D*L'，线性系统 A*x = b 可以重写为 inv(P')*L*D*L'*inv(P)*x = b。通过求解 x，线性系统可重写为 x = P*inv(L')*inv(D)*inv(L)*P'*b 或 x = P*(L'\(D\(L\(P'*b))))。

    在求解线性系统之前预先计算矩阵因子可以在求解具有几个不同 b 值的线性系统时提高性能，因为分解只发生一次，不需要重复。

    [L,D,P] = ldl(A)
    L = 3×3

    1.0000         0         0
         0    1.0000         0
   -0.6429   -0.4286    1.0000


    D = 3×3

    2.0000    4.0000         0
    4.0000    1.0000         0
         0         0   -1.2143


    P = 3×3

     1     0     0
     0     0     1
     0     1     0


    x2 = P*(L'\(D\(L\(P'*b))))
    x2 = 3×1

   -0.4118
   -0.5294
    0.0588

    在使用专用分解方法来求解线性系统时，decomposition 对象很有用，因为您可以预先计算矩阵因子，而不需要知道如何使用这些因子。使用 "ldl" 类型的 decomposition 对象重新创建相同的结果。

    dA = decomposition(A,"ldl");
x3 = dA\b
    x3 = 3×1

   -0.4118
   -0.5294
    0.0588
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    要分解的矩阵越大，使用置换向量的效率就越高。使用置换向量还可以节省后续操作中的执行时间。

    创建一个 1000×1000 对称随机矩阵，并计算矩阵的 LDL 分解。为 ldl 函数指定三个输出参量以返回置换信息。比较存储为矩阵和存储为向量的置换信息的大小。 

    A = rand(1000);
A = A + A';
[L,D,P] = ldl(A);
[Lv,Dv,v] = ldl(A,"vector");
whos P v
      Name         Size                Bytes  Class     Attributes

  P         1000x1000            8000000  double              
  v            1x1000               8000  double

    使用置换矩阵时，因子满足恒等式 P'*A*P = L*D*L'。使用置换向量时，因子满足恒等式 A(v,v) = Lv*Dv*Lv'。

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    使用 3×3 矩阵的下三角形计算其 LDL 分解。

    A = [2 -1 0; -3 2 -1; 0 -3 1];
[L,D] = ldl(A)
    L = 3×3

    1.0000         0         0
   -1.5000    1.0000         0
         0    1.2000    1.0000


    D = 3×3

    2.0000         0         0
         0   -2.5000         0
         0         0    4.6000

    通过将 triangle 指定为 "upper"，使用同一矩阵的上三角形计算其 LDL 分解。 

    [Lu,Du] = ldl(A,"upper")
    Lu = 3×3

    1.0000   -0.5000         0
         0    1.0000   -0.6667
         0         0    1.0000


    Du = 3×3

    2.0000         0         0
         0    1.5000         0
         0         0    0.3333
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    计算随机埃尔米特矩阵的 LDL 分解。为 ldl 函数指定四个输出参量以返回缩放矩阵。缩放矩阵 C1 中的值具有不同缩放，而分块对角矩阵 D1 更平衡。

    A = randn(7);
A = A + A';
d = logspace(0,-20,7);
A = A.*d.*d';
[L1,D1,P1,C1] = ldl(sparse(A));
full(C1)
    ans = 7×7
1019 ×

    0.0000         0         0         0         0         0         0
         0    0.0000         0         0         0         0         0
         0         0    0.0000         0         0         0         0
         0         0         0    0.0000         0         0         0
         0         0         0         0    0.0000         0         0
         0         0         0         0         0    0.0046         0
         0         0         0         0         0         0    6.7627


    full(D1)
    ans = 7×7

    1.0000         0         0         0         0         0         0
         0   -0.2722         0         0         0         0         0
         0         0    1.2133         0         0         0         0
         0         0         0   -3.6488         0         0         0
         0         0         0         0    0.2950         0         0
         0         0         0         0         0   -0.7251         0
         0         0         0         0         0         0   13.1577

    使用具有三个输出参量的 ldl 计算 LDL 分解。如果不指定缩放矩阵输出，则矩阵 L2 和 D2 具有不同缩放。

    [L2,D2,P2] = ldl(sparse(A));
full(D2)
    ans = 7×7

    0.0000    0.0010         0         0         0         0         0
    0.0010    1.0753         0         0         0         0         0
         0         0    0.0000    0.0000         0         0         0
         0         0    0.0000   -0.0000         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0

    输入参数

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    输入矩阵，指定为实数或复数方阵。ldl 假设 A 是对称的（如果是复矩阵，则为埃尔米特矩阵），默认情况下只使用 A 的下三角形。您可以通过使用 ishermitian(A) 来检查 A 是否为埃尔米特矩阵。

    数据类型: single | double
    复数支持: 是

    稀疏输入矩阵，指定为实稀疏矩阵。ldl 假设 S 是对称矩阵。

    数据类型: double

    输入矩阵的三角因子，指定为 "lower" 或 "upper"。使用此选项指定 ldl 应使用输入矩阵的下三角形或上三角形来计算分解。ldl 假设输入矩阵是对称矩阵（如果是复矩阵，则为埃尔米特矩阵），并且仅使用下三角形或上三角形来执行计算。

    如果指定三个输出参量，并且 triangle 是 "lower"，则分解满足 P'*A*P = L*D*L'，并且 L 是下三角形。如果 triangle 是 "upper"，则分解满足 P'*A*P = L'*D*L，并且 L 是上三角形。

    置换输出的形状，指定为 "matrix" 或 "vector"。如果 outputForm 是 "matrix" 并且使用下三角形，则置换矩阵满足 P'*A*P = L*D*L'。如果 outputForm 是 "vector" 并且使用下三角形，则置换向量满足 A(P,P) = L*D*L'。

    实数稀疏矩阵的主元容差，指定为范围 [0,0.5] 内的标量。默认情况下，tol 为 0.01。使用较小的值可能导致分解更快、因子更稀疏，但可能导致分解更不稳定。

    数据类型: double

    输出参量

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    下三角因子，以方阵形式返回。默认情况下，L 是单位下三角矩阵，它是对角线上元素为 1 的下三角矩阵。如果 triangle 是 "upper"，则 L 是单位上三角矩阵。

    分块对角因子，以方阵形式返回。D 在其对角线上有 1×1 和 2×2 分块。

    置换信息，以矩阵形式返回；或者如果 outputForm 是 "vector"，则以向量形式返回。

    缩放因子，以方阵形式返回。对于实稀疏矩阵 S，C 是满足 P'*C*S*C*P = L*D*L' 的正稀疏对角矩阵。

    详细信息

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    埃尔米特矩阵

    • 如果某个方阵 A = A' 等于其复共轭转置 A，则该方阵为埃尔米特矩阵。

      就矩阵元素而言，

      ai, j=a¯j, i  .

    • 埃尔米特矩阵的对角线上的项始终为实数。因为实矩阵不受复共轭影响，所以对称实矩阵也是埃尔米特矩阵。例如，此矩阵既是对称矩阵，也是埃尔米特矩阵。

      A=[100210101]

    • 埃尔米特矩阵的特征值是实数。

    参考

    [1] Ashcraft, Cleve, Roger G. Grimes, and John G. Lewis. “Accurate Symmetric Indefinite Linear Equation Solvers.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 20, no. 2 (January 1998): 513–61. https://doi.org/10.1137/S0895479896296921.

    [2] Anderson, E., Z. Bai, C. Bischof, L. S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A. McKenny, and D. Sorensen. LAPACK Users’ Guide. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. https://doi.org/10.1137/1.9780898719604.

    [3] Duff, Iain S. “MA57---a Code for the Solution of Sparse Symmetric Definite and Indefinite Systems.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 118–44. https://doi.org/10.1145/992200.992202.

    扩展功能

    版本历史记录

    在 R2006a 之前推出

    另请参阅

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