[C,R,P] = qr(S,B,outputForm) 指定置换信息 P 是以矩阵还是向量形式返回。例如，如果 outputForm 是 'vector'，则 S*X = B 的最小二乘解是 X(P,:) = R\C。outputForm 的默认值为 'matrix'，此时 S*X = B 的最小二乘解是 X = P*(R\C)。

示例

全部折叠

Q-Less QR 分解

打开实时脚本

求 5×5 帕斯卡矩阵的 QR 分解。指定一个输出参数以只返回上三角因子。

A = pascal(5);
X = qr(A)

X = 5×5

   -2.2361   -6.7082  -15.6525  -31.3050  -56.3489
    0.3090    3.1623   11.0680   26.5631   53.1263
    0.3090   -0.1744    1.8708    7.4833   19.2428
    0.3090   -0.4565    0.3548    0.6325    2.8460
    0.3090   -0.7387   -0.0281   -0.7490   -0.1195

从 X 中提取上三角因子 R。

R = triu(X)

R = 5×5

   -2.2361   -6.7082  -15.6525  -31.3050  -56.3489
         0    3.1623   11.0680   26.5631   53.1263
         0         0    1.8708    7.4833   19.2428
         0         0         0    0.6325    2.8460
         0         0         0         0   -0.1195

将 Q-less QR 分解中的 R 与完整 QR 分解中的 R 因子进行比较。

[Q1,R1] = qr(A)

Q1 = 5×5

   -0.4472   -0.6325    0.5345   -0.3162   -0.1195
   -0.4472   -0.3162   -0.2673    0.6325    0.4781
   -0.4472    0.0000   -0.5345   -0.0000   -0.7171
   -0.4472    0.3162   -0.2673   -0.6325    0.4781
   -0.4472    0.6325    0.5345    0.3162   -0.1195

R1 = 5×5

   -2.2361   -6.7082  -15.6525  -31.3050  -56.3489
         0    3.1623   11.0680   26.5631   53.1263
         0         0    1.8708    7.4833   19.2428
         0         0         0    0.6325    2.8460
         0         0         0         0   -0.1195

矩阵的完整 QR 分解

打开实时脚本

通过指定两个输出参数来计算幻方测试矩阵的完整 QR 分解。

A = magic(5);
[Q,R] = qr(A)

Q = 5×5

   -0.5234    0.5058    0.6735   -0.1215   -0.0441
   -0.7081   -0.6966   -0.0177    0.0815   -0.0800
   -0.1231    0.1367   -0.3558   -0.6307   -0.6646
   -0.3079    0.1911   -0.4122   -0.4247    0.7200
   -0.3387    0.4514   -0.4996    0.6328   -0.1774

R = 5×5

  -32.4808  -26.6311  -21.3973  -23.7063  -25.8615
         0   19.8943   12.3234    1.9439    4.0856
         0         0  -24.3985  -11.6316   -3.7415
         0         0         0  -20.0982   -9.9739
         0         0         0         0  -16.0005

在计算机精度范围内验证 $A = QR$ 。

norm(A-Q*R)

ans = 1.2569e-14

置换 QR 分解

打开实时脚本

指定三个输出参数以返回一个置换矩阵或向量，该置换矩阵或向量可减少 QR 分解的 R 因子中的填充。

计算 west0479 稀疏矩阵的 QR 分解。指定三个输出以返回满足 $AP = QR$ 的置换矩阵。

load west0479
A = west0479;
[Q,R,P] = qr(A);

在计算机精度范围内验证置换矩阵 P 满足 A*P = Q*R。

norm(A*P-Q*R,'fro')

ans = 3.5451e-10

现在指定 'vector' 选项以将 p 以置换向量形式返回。

[Q,R,p] = qr(A,'vector');

在计算机精度范围内验证置换向量 p 满足 A(:,p) = Q*R。

norm(A(:,p) - Q*R,'fro')

ans = 3.5451e-10

验证对于稀疏输入，在分解中使用置换矩阵或置换向量所得的 R 因子的非零项比使用非置换分解的少。

[Q1,R1] = qr(A);
spy(R1)

spy(R)

结果表明置换分解产生的 R 因子的非零值明显减少。

用精简 QR 因子求解线性方程组

打开实时脚本

使用系数矩阵的精简 QR 分解来求解线性方程组 $Ax = b$ 。

使用 magic(10) 的前五列创建一个 10×5 系数矩阵。对于线性方程 $Ax = b$ 的右侧，使用矩阵的行总和。在这种设置下，方程 $x$ 的解应为由 1 组成的向量。

A = magic(10);
A = A(:,1:5)

A = 10×5

    92    99     1     8    15
    98    80     7    14    16
     4    81    88    20    22
    85    87    19    21     3
    86    93    25     2     9
    17    24    76    83    90
    23     5    82    89    91
    79     6    13    95    97
    10    12    94    96    78
    11    18   100    77    84

b = sum(A,2)

计算 A 的精简 QR 分解。然后用 x(p,:) = R\(Q\b) 求解线性方程组 $QRx = b$ 。由于 Q 是正交矩阵，此方程与 x(p,:) = R\(Q'*b) 相同。

[Q,R,p] = qr(A,0)

Q = 10×5

   -0.0050   -0.4775   -0.0504    0.5193    0.0399
   -0.0349   -0.5001   -0.0990   -0.1954   -0.2006
   -0.4384    0.1059   -0.4660    0.4464    0.0628
   -0.0947   -0.4151   -0.2923   -0.2542    0.5274
   -0.1246   -0.4117   -0.2812   -0.1326   -0.4130
   -0.3787    0.0209    0.2702    0.4697    0.0390
   -0.4085   -0.0017    0.2217   -0.2450   -0.2015
   -0.0648   -0.3925    0.6939    0.0669    0.1225
   -0.4683    0.0833    0.0283   -0.3038    0.5265
   -0.4982    0.0867    0.0394   -0.1822   -0.4138

R = 5×5

 -200.7112  -55.5026 -167.6040  -84.7237 -168.7997
         0 -192.1053  -40.3557 -152.4040  -39.2814
         0         0  101.3180  -89.4254   96.0172
         0         0         0   41.0248  -14.9083
         0         0         0         0   24.6386

p = 1×5

     3     1     5     2     4

x(p,:) = R\(Q\b)

生成 R 的对角线的半对数图，以确认置换分解产生的 R 因子的 abs(diag(R)) 是递减的。将 A 的奇异值绘制在同一个图中进行比较。实际上，R 的对角线值与 A 的奇异值具有类似的行为。因此，您可以使用 R 的对角线值来衡量矩阵 A 的奇异程度。

semilogy(abs(diag(R)),'-o')
hold on
semilogy(svd(A),'r-o')
legend('Diagonal of R','Singular Values of A')

求解稀疏线性方程组

打开实时脚本

求解稀疏线性方程组，并使用结果查看向量 b 有多少位于 S 的列空间中。

创建一个随机 500×20 稀疏矩阵（密度为 10%）和一个由 1 组成的向量。使用 qr 将矩阵分解为因子 R 和 C = Q'*b。

S = sprand(500,20,0.1);
b = ones(500,1);
[C,R] = qr(S,b,0);

使用这些结果求解 $Sx = b$ ，解为 x = R\C。

x = R\C;

以恒等式 ${‖ b ‖}^{2} = {‖ Sx - b ‖}^{2} + {‖ C ‖}^{2}$ 为例。

除以 b 的范数，会得到一个新的恒等式，表明 b 有多少位于 S 的列空间中：

$\frac{{‖ Sx - b ‖}^{2}}{{‖ b ‖}^{2}} + \frac{{‖ C ‖}^{2}}{{‖ b ‖}^{2}} = 1$ 。

第一个项说明 b 有多少不在 S 的列空间中，而第二个项说明 b 有多少在 S 的列空间中。

t1 = norm(S*x-b)^2/norm(b)^2

t1 = 0.4000

t2 = norm(C)^2/norm(b)^2

t2 = 0.6000

求解矩形稀疏线性方程组

打开实时脚本

使用 qr 求解矩阵方程 $Sx = B$ ，其中 $S$ 为矩形稀疏系数矩阵。

加载 west0479 稀疏矩阵，并将前 200 列用作线性方程组中的矩形系数矩阵。对于方程的右侧，使用 $S$ 的行总和。在这种设置下， $Sx = B$ 的解是由 1 组成的向量。

load west0479
S = west0479(:,1:200);
B = sum(S,2);

使用 qr 以及两个输入和三个输出求解 $Sx = B$ 。线性方程组的解是 x = P*(R\C)。

[C,R,P] = qr(S,B);
x = P*(R\C);

在计算机精度范围内验证 $Sx - B = 0$ 。

norm(S*x-B)

ans = 9.1703e-11

注意：要计算上三角因子 R 和置换矩阵 P，但避免计算正交矩阵 Q（这通常是对 qr 的调用中计算量最大的部分），您可以将 B 指定为空矩阵：

emptyB = zeros(size(S,1),0);
[~,R,P] = qr(S,emptyB);

输入参数

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`A` - 输入矩阵
矩阵

输入矩阵，指定为满矩阵或稀疏矩阵。

数据类型： single | double
复数支持： 是

`S` - 输入系数矩阵
矩阵

输入系数矩阵，指定为稀疏矩阵。使用两个输入矩阵，qr 计算线性方程组 S*X = B 的最小二乘解。

数据类型： double
复数支持： 是

`B` - 右侧矩阵
矩阵

右侧矩阵，指定为满矩阵或稀疏矩阵。使用两个输入矩阵，qr 计算 C = Q'*B，您可以用它来求解线性方程组 S*X = B。

数据类型： single | double
复数支持： 是

`outputForm` - 置换输出的形状
`'matrix'` （默认） | `'vector'`

置换输出的形状，指定为 'matrix' 或 'vector'。此标志控制置换输出 P 是以置换矩阵还是置换向量形式返回。要使用此选项，您必须指定 qr 的三个输出参数。

如果 outputForm 是 'vector'，则 P 是满足 A(:,P) = Q*R 的置换向量。
outputForm 的默认值为 'matrix'，满足 A*P = Q*R。

示例： [Q,R,P] = qr(A,'vector')

输出参数

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`X` - 输出矩阵
矩阵

输出矩阵。X 的内容取决于 A 是满矩阵还是稀疏矩阵：

如果 A 为满矩阵，则 QR 分解的上三角因子是 R = triu(X)。（下三角元素是用于计算 Q 的数据的一部分。）
如果 A 为稀疏矩阵，则因子是 R = X。

`Q` - 正交因子
矩阵

正交因子，以矩阵形式返回，满足 A = Q*R，其中 A 为 m×n 矩阵。

对于完整分解，qr(A) 以 m×m 正交矩阵形式返回 Q，满足 $Q^{H} Q = Q Q^{H} = I_{m}$ 。
对于满足 m > n 的矩形 A，精简分解 qr(A,0) 仅计算 Q 的前 n 列和 R 的前 n 行。Q 的列构成 A 的列空间的标准正交基。

不同的计算机和 MATLAB^® 版本可能在 Q 中生成不同列，但它们在数值上依然精确。Q 和 R 中相应的行和列可以翻转其符号，因为这不会影响 A = Q*R 表达式的值。

`R` - 上三角因子
矩阵

上三角因子，以满足 A = Q*R 的矩阵形式返回。

`P` - 置换信息
矩阵 | 向量

置换信息，以矩阵或向量形式返回。P 的形状取决于 outputForm 的值。此外，qr 需要选择 P 以满足不同标准，具体取决于第一个输入矩阵是满矩阵还是稀疏矩阵：

满矩阵 - qr 选择的 P 要使 abs(diag(R)) 递减。
稀疏矩阵 - qr 选择的 P 要减少 R 中的填充。

`C` - 线性方程组因子
矩阵

线性方程组因子，以矩阵形式返回，需满足 C = Q'*B。S*X = B 的最小二乘解是 X = R\C。如果指定了置换输出 P，则解是 X = P*(R\C) 或 X(P,:) = R\C，具体取决于 outputForm 的值：

如果 outputForm 是 'vector'，则 S*X = B 的最小二乘解是 X(P,:) = R\C。
outputForm 的默认值为 'matrix'，此时 S*X = B 的最小二乘解是 X = P*(R\C)。

提示

要求解涉及相同系数矩阵的多个线性方程组，请使用 decomposition 对象。
对于语法 [C,R] = qr(S,B)，仅当 S 不具有低秩时，X = R\C 的值才是 S*X = B 的最小二乘解。

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

代码生成不支持对此函数使用稀疏矩阵输入。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

用法说明和限制：

代码生成不支持对此函数使用稀疏矩阵输入。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

用法说明和限制：

对于 GPU 数组，此函数支持且仅支持两个输出。支持以下语法：
- [Q,R] = qr(A)
- [Q,R] = qr(A,0)
输入 A 必须为非稀疏矩阵。

有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在群集的组合内存中对大型数组进行分区。

用法说明和限制：

输入 A 必须为非稀疏矩阵。

有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox)。

另请参阅

主题

在 R2006a 之前推出

qr

语法

说明

示例

Q-Less QR 分解

矩阵的完整 QR 分解

置换 QR 分解

用精简 QR 因子求解线性方程组

求解稀疏线性方程组

求解矩形稀疏线性方程组

输入参数

`A` - 输入矩阵
矩阵

`S` - 输入系数矩阵
矩阵

`B` - 右侧矩阵
矩阵

`outputForm` - 置换输出的形状
`'matrix'` （默认） | `'vector'`

输出参数

`X` - 输出矩阵
矩阵

`Q` - 正交因子
矩阵

`R` - 上三角因子
矩阵

`P` - 置换信息
矩阵 | 向量

`C` - 线性方程组因子
矩阵

提示

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在群集的组合内存中对大型数组进行分区。

另请参阅

主题

MATLAB 文档

支持

Introducing Deep Learning with MATLAB

qr

语法

说明

示例

Q-Less QR 分解

矩阵的完整 QR 分解

置换 QR 分解

用精简 QR 因子求解线性方程组

求解稀疏线性方程组

求解矩形稀疏线性方程组

输入参数

A - 输入矩阵 矩阵

S - 输入系数矩阵 矩阵

B - 右侧矩阵 矩阵

outputForm - 置换输出的形状 'matrix' （默认） | 'vector'

输出参数

X - 输出矩阵 矩阵

Q - 正交因子 矩阵

R - 上三角因子 矩阵

P - 置换信息 矩阵 | 向量

C - 线性方程组因子 矩阵

提示

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在群集的组合内存中对大型数组进行分区。

另请参阅

主题

MATLAB 文档

支持

Introducing Deep Learning with MATLAB

WeChat

`A` - 输入矩阵
矩阵

`S` - 输入系数矩阵
矩阵

`B` - 右侧矩阵
矩阵

`outputForm` - 置换输出的形状
`'matrix'` （默认） | `'vector'`

`X` - 输出矩阵
矩阵

`Q` - 正交因子
矩阵

`R` - 上三角因子
矩阵

`P` - 置换信息
矩阵 | 向量

`C` - 线性方程组因子
矩阵

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
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分布式数组
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