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orth

适用于矩阵范围的标准正交基

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语法

Q = orth(A)
Q = orth(A,tol)

说明

Q = orth(A) 返回适用于 A 的范围的一个标准正交基。矩阵 Q 的列是涵盖了 A 范围的向量。Q 中列的数量等于 A 的秩。

示例

Q = orth(A,tol) 也指定容差。小于或等于 tol 的 A 的奇异值被视为零，这会影响 Q 中的列数。

示例

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计算并验证适用于满秩矩阵范围的标准正交基向量。

定义一个矩阵并计算它的秩。 

A = [1 0 1;-1 -2 0; 0 1 -1];
r = rank(A)
r = 
3

由于 A 是一个满秩方阵，orth(A) 计算出的标准正交基与奇异值分解 [U,S] = svd(A,"econ") 中计算出的矩阵 U 一致。原因是 A 的奇异值均为非零值。

使用 orth 计算适用于 A 的范围的标准正交基。 

Q = orth(A)
Q = 3×3

   -0.1200   -0.8097    0.5744
    0.9018    0.1531    0.4042
   -0.4153    0.5665    0.7118

Q 中的列数等于 rank(A)。由于 A 为满秩矩阵，Q 和 A 具有相同的大小。

在合理误差界限内验证基向量 Q 是正交、归一化向量。

E = norm(eye(r)-Q'*Q,"fro")
E = 
1.0857e-15

误差与 eps 的量级相当。

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计算并验证适用于秩亏矩阵范围的标准正交基向量。

定义一个奇异矩阵并计算它的秩。 

A = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];
r = rank(A)
r = 
2

由于 A 是一个秩亏矩阵，orth(A) 计算出的标准正交基仅与奇异值分解 [U,S] = svd(A,"econ") 中计算出的矩阵 U 的前 r = 2 列一致。原因是 A 的奇异值并不全是非零值。

使用 orth 计算适用于 A 的范围的标准正交基。 

Q = orth(A)
Q = 3×2

   -0.7071         0
         0    1.0000
   -0.7071         0

由于 A 为秩亏矩阵，Q 包含的列比 A 少一个。

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当矩阵具有较小的奇异值时，通过指定容差可更改将哪些奇异值视为零。

创建一个 7×7 希尔伯特矩阵。此矩阵为满秩矩阵，但有一些小的奇异值。

H = hilb(7)
H = 7×7

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429
    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250
    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250    0.1111
    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250    0.1111    0.1000
    0.2000    0.1667    0.1429    0.1250    0.1111    0.1000    0.0909
    0.1667    0.1429    0.1250    0.1111    0.1000    0.0909    0.0833
    0.1429    0.1250    0.1111    0.1000    0.0909    0.0833    0.0769

计算适用于 H 的范围的一个标准正交基。由于 H 为满秩矩阵，Q 和 H 具有相同的大小。

Q = orth(H)
Q = 7×7

   -0.7332    0.6232    0.2608   -0.0752    0.0160   -0.0025    0.0002
   -0.4364   -0.1631   -0.6706    0.5268   -0.2279    0.0618   -0.0098
   -0.3198   -0.3215   -0.2953   -0.4257    0.6288   -0.3487    0.0952
   -0.2549   -0.3574    0.0230   -0.4617   -0.2004    0.6447   -0.3713
   -0.2128   -0.3571    0.2337   -0.1712   -0.4970   -0.1744    0.6825
   -0.1831   -0.3446    0.3679    0.1827   -0.1849   -0.5436   -0.5910
   -0.1609   -0.3281    0.4523    0.5098    0.4808    0.3647    0.1944

现在，再次计算标准正交基向量，但指定容差为 1e-4。此容差使 orth 将三个奇异值视为零，因此标准正交基只有四列。

Qtol = orth(H,1e-4)
Qtol = 7×4

   -0.7332    0.6232    0.2608   -0.0752
   -0.4364   -0.1631   -0.6706    0.5268
   -0.3198   -0.3215   -0.2953   -0.4257
   -0.2549   -0.3574    0.0230   -0.4617
   -0.2128   -0.3571    0.2337   -0.1712
   -0.1831   -0.3446    0.3679    0.1827
   -0.1609   -0.3281    0.4523    0.5098

输入参数

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输入矩阵。

数据类型: single | double
复数支持: 是

奇异值容差，指定为实数标量。小于或等于容差的 A 的奇异值被视为零，这会影响 orth 返回的列空间向量的数目。默认容差是 max(size(A)) * eps(norm(A))。

详细信息

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算法

根据奇异值分解 [U,S] = svd(A,"econ") 中的 U 获得 A 的范围的标准正交基。如果 r = rank(A,tol)，则 U 的前 r 列构成一个适用于 A 的范围的标准正交基。

扩展功能

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版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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另请参阅

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