svd

奇异值分解

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语法

S = svd(A)

[U,S,V] = svd(A)

[___] = svd(A,"econ")

[___] = svd(A,0)

[___] = svd(___,outputForm)

说明

S = svd(A) 以降序顺序返回矩阵 A 的奇异值。

示例

[U,S,V] = svd(A) 执行矩阵 A 的奇异值分解，因此 A = U*S*V'。

示例

[___] = svd(A,"econ") 使用上述任一输出参量组合生成 A 的精简分解。如果 A 是 m×n 矩阵，则：

m > n - 只计算 U 的前 n 列，S 是一个 n×n 矩阵。
m = n - svd(A,"econ") 等效于 svd(A)。
m < n - 只计算 V 的前 m 列，S 是一个 m×m 矩阵。

精简分解从奇异值的对角矩阵 S 中删除额外的零值行或列，以及 U 或 V 中与表达式 A = U*S*V' 中的那些零值相乘的列。删除这些零值和列可以缩短执行时间，并减少存储要求，而且不会影响分解的准确性。

示例

[___] = svd(A,0) 为 m×n 矩阵 A 生成另一种精简分解：

m > n - svd(A,0) 等效于 svd(A,"econ")。
m <= n - svd(A,0) 等效于 svd(A)。

不建议使用此语法。改用 "econ" 选项。

示例

[___] = svd(___,outputForm) 还可以指定奇异值的输出格式。您可以将此选项与上述任一输入或输出参量组合一起使用。指定 "vector" 以列向量形式返回奇异值，或指定 "matrix" 以对角矩阵形式返回奇异值。

示例

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矩阵的奇异值

打开实时脚本

计算满秩矩阵的奇异值。

A = [1 0 1; -1 -2 0; 0 1 -1]

A = 3×3

     1     0     1
    -1    -2     0
     0     1    -1

s = svd(A)

奇异值分解

打开实时脚本

求矩形矩阵 A 的奇异值分解。

A = [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]

[U,S,V] = svd(A)

U = 4×4

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800
   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007
   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614
   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S = 4×2

   14.2691         0
         0    0.6268
         0         0
         0         0

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

在计算机精度范围内确认关系 A = U*S*V'。

U*S*V'

ans = 4×2

    1.0000    2.0000
    3.0000    4.0000
    5.0000    6.0000
    7.0000    8.0000

精简分解

打开实时脚本

计算矩形矩阵的完全分解和精简分解。

A = [1 2; 3 4; 5 6; 7 8]

[U,S,V] = svd(A)

U = 4×4

   -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800
   -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007
   -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614
   -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

S = 4×2

   14.2691         0
         0    0.6268
         0         0
         0         0

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

[U,S,V] = svd(A,"econ")

U = 4×2

   -0.1525   -0.8226
   -0.3499   -0.4214
   -0.5474   -0.0201
   -0.7448    0.3812

S = 2×2

   14.2691         0
         0    0.6268

V = 2×2

   -0.6414    0.7672
   -0.7672   -0.6414

由于 A 是 4×2 矩阵，因此与完全分解相比，svd(A,"econ") 在 U 中返回更少的列数，在 S 中返回更少的行数。排除 S 中的额外零值行以及 U 中与表达式 A = U*S*V' 中的那些零值相乘的相应列。

控制奇异值输出格式

打开实时脚本

创建一个 6×6 幻方矩阵并计算 SVD。默认情况下，当您指定多个输出时，svd 以对角矩阵形式返回奇异值。

A = magic(6);
[U,S,V] = svd(A)

U = 6×6

   -0.4082    0.5574    0.0456   -0.4182    0.3092    0.5000
   -0.4082   -0.2312    0.6301   -0.2571   -0.5627    0.0000
   -0.4082    0.4362    0.2696    0.5391    0.1725   -0.5000
   -0.4082   -0.3954   -0.2422   -0.4590    0.3971   -0.5000
   -0.4082    0.1496   -0.6849    0.0969   -0.5766    0.0000
   -0.4082   -0.5166   -0.0182    0.4983    0.2604    0.5000

S = 6×6

  111.0000         0         0         0         0         0
         0   50.6802         0         0         0         0
         0         0   34.3839         0         0         0
         0         0         0   10.1449         0         0
         0         0         0         0    5.5985         0
         0         0         0         0         0    0.0000

V = 6×6

   -0.4082    0.6234   -0.3116    0.2495    0.2511    0.4714
   -0.4082   -0.6282    0.3425    0.1753    0.2617    0.4714
   -0.4082   -0.4014   -0.7732   -0.0621   -0.1225   -0.2357
   -0.4082    0.1498    0.2262   -0.4510    0.5780   -0.4714
   -0.4082    0.1163    0.2996    0.6340   -0.3255   -0.4714
   -0.4082    0.1401    0.2166   -0.5457   -0.6430    0.2357

指定 "vector" 选项，以列向量形式返回奇异值。

[U,S,V] = svd(A,"vector")

U = 6×6

   -0.4082    0.5574    0.0456   -0.4182    0.3092    0.5000
   -0.4082   -0.2312    0.6301   -0.2571   -0.5627    0.0000
   -0.4082    0.4362    0.2696    0.5391    0.1725   -0.5000
   -0.4082   -0.3954   -0.2422   -0.4590    0.3971   -0.5000
   -0.4082    0.1496   -0.6849    0.0969   -0.5766    0.0000
   -0.4082   -0.5166   -0.0182    0.4983    0.2604    0.5000

V = 6×6

   -0.4082    0.6234   -0.3116    0.2495    0.2511    0.4714
   -0.4082   -0.6282    0.3425    0.1753    0.2617    0.4714
   -0.4082   -0.4014   -0.7732   -0.0621   -0.1225   -0.2357
   -0.4082    0.1498    0.2262   -0.4510    0.5780   -0.4714
   -0.4082    0.1163    0.2996    0.6340   -0.3255   -0.4714
   -0.4082    0.1401    0.2166   -0.5457   -0.6430    0.2357

如果指定一个输出参量，如 S = svd(A)，则 svd 默认情况下会改为以列向量形式返回奇异值。在这种情况下，您可以指定 "matrix" 选项以对角矩阵形式返回奇异值。

矩阵的秩、列空间和零空间

打开实时脚本

使用奇异值分解结果来确定矩阵的秩、列空间和零空间。

A = [2 0 2; 0 1 0; 0 0 0]

A = 3×3

     2     0     2
     0     1     0
     0     0     0

[U,S,V] = svd(A)

U = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

S = 3×3

    2.8284         0         0
         0    1.0000         0
         0         0         0

V = 3×3

    0.7071         0    0.7071
         0    1.0000         0
    0.7071         0   -0.7071

使用非零奇异值个数计算秩。

s = diag(S);
rank_A = nnz(s)

rank_A = 
2

使用 U 中有对应的非零奇异值的列来计算 A 的列空间的标准正交基。

column_basis = U(:,logical(s))

column_basis = 3×2

     1     0
     0     1
     0     0

使用 V 中有对应的零奇异值的列来计算 A 的零空间的标准正交基。

null_basis = V(:,~s)

null_basis = 3×1

    0.7071
         0
   -0.7071

函数 rank、orth 和 null 为计算这些数量提供了便捷方法。

输入参数

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`A` — 输入矩阵
矩阵

输入矩阵。A 可以是方阵或矩形矩阵。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`outputForm` — 奇异值的输出格式
`"vector"` | `"matrix"`

奇异值的输出格式，指定为以下值之一：

"vector" - S 是列向量。当您指定一个输出 S = svd(X) 时，这是默认行为。
"matrix" - S 是对角矩阵。当您指定多个输出 [U,S,V] = svd(X) 时，这是默认行为。

示例: [U,S,V] = svd(X,"vector") 将 S 以列向量而不是对角矩阵形式返回。

示例: S = svd(X,"matrix") 将 S 以对角矩阵而不是列向量形式返回。

数据类型: char | string

输出参量

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`U` — 左奇异向量
矩阵

左奇异向量，以矩阵的列形式返回。

对于 m > n 的 m×n 矩阵 A，精简分解 svd(A,"econ") 只计算 U 的前 n 列。在这种情况下，U 的列正交，U 是一个满足 $U^{H} U = I_{n}$ 的 m×n 矩阵。
对于完全分解，svd(A) 以满足 $U U^{H} = U^{H} U = I_{m}$ 的 m×m 酉矩阵形式返回 U。U 中有对应的非零奇异值的列为 A 的范围形成一组标准正交基向量。

不同的计算机和 MATLAB^® 版本可以生成不同的奇异向量，它们在数值上依然精确。U 和 V 中的相应列可以翻转其符号，因为这不会影响表达式 A = U*S*V' 的值。

`S` — 奇异值
对角矩阵 | 列向量

奇异值，以对角矩阵或列向量形式返回。奇异值是非负值并以降序顺序返回。

如果 A 是 m×n 矩阵，而 S 是对角矩阵，则 S 的大小如下：

精简分解 svd(A,"econ") 将以 min([m,n]) 阶方阵形式返回 S。
对于完全分解，svd(A) 返回与 A 大小相同的 S。

此外，根据您如何调用 svd 以及是否指定 outputForm 选项，S 中的奇异值将以列向量或对角矩阵形式返回：

如果带一个输出调用 svd 或指定了 "vector" 选项，则 S 是列向量。
如果带多个输出调用 svd 或指定了 "matrix" 选项，则 S 是对角矩阵。

根据您指定一个输出还是多个输出，svd 可以返回不同奇异值，这些值在数值上依然精确。

`V` — 右奇异向量
矩阵

右奇异向量，以矩阵的列形式返回。

对于 m < n 的 m×n 矩阵 A，精简分解 svd(A,"econ") 只计算 V 的前 m 列。在这种情况下，V 的列正交，V 是一个满足 $V^{H} V = I_{m}$ 的 n×m 矩阵。
对于完全分解，svd(A) 以满足 $V V^{H} = V^{H} V = I_{n}$ 的 n×n 酉矩阵形式返回 V。V 中没有对应的非零奇异值的列为 A 的零空间形成一组标准正交基向量。

不同的计算机和 MATLAB 版本可以生成不同的奇异向量，它们在数值上依然精确。U 和 V 中的相应列可以翻转其符号，因为这不会影响表达式 A = U*S*V' 的值。

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

svd 函数支持 tall 数组，但存在以下使用说明和限制：

不支持有三个输出的语法 [U,S,V] = svd(X)。对于三个输出，必须指定 svd(X,"econ")，"vector" 或 "matrix" 为可选项。
对于一个输出的 s = svd(X,...)，奇异值必须以向量形式返回，除非您指定 "econ"。

有关详细信息，请参阅tall 数组。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

代码生成使用与 MATLAB 不同的 SVD 实现。由于奇异值分解不是唯一的，所以左右奇异向量可能与 MATLAB 计算的不同。
代码生成不支持对此函数使用稀疏矩阵输入。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

用法说明和限制：

代码生成使用与 MATLAB 不同的 SVD 实现。由于奇异值分解不是唯一的，所以左右奇异向量可能与 MATLAB 计算的不同。
当输入矩阵包含非有限值时，生成的代码不会引发错误，而是在输出中包含 NaN 值。
代码生成不支持对此函数使用稀疏矩阵输入。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

svd 函数完全支持 GPU 数组。要在 GPU 上运行该函数，请将输入数据指定为 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)。有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

用法说明和限制：

如果输入矩阵 A 是矩形矩阵，则必须使用 "econ" 选项指定精简分解。

有关详细信息，请参阅使用分布式数组运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

全部展开

R2022b: 精简分解不推荐使用“0”语法

将继续支持语法 [___] = svd(A,0)，但不再推荐使用。请改用 "econ" 选项来执行精简分解。

R2021b: 指定输出格式

将 outputForm 指定为 "vector" 或 "matrix"，以控制 svd 是以向量还是矩阵形式返回输出参量。对于大型分解，将输出作为向量返回可以节省内存并提高效率。

R2021b: `svd` 在输入为非有限时返回 `NaN`

当输入包含非有限值（Inf 或 NaN）时，svd 返回 NaN 值。以前，svd 在输入包含非有限值时会引发错误。

另请参阅

主题

奇异值

svd

语法

说明

示例

矩阵的奇异值

奇异值分解

精简分解

控制奇异值输出格式

矩阵的秩、列空间和零空间

输入参数

A — 输入矩阵 矩阵

outputForm — 奇异值的输出格式 "vector" | "matrix"

输出参量

U — 左奇异向量 矩阵

S — 奇异值 对角矩阵 | 列向量

V — 右奇异向量 矩阵

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

R2022b: 精简分解不推荐使用“0”语法

R2021b: 指定输出格式

R2021b: svd 在输入为非有限时返回 NaN

另请参阅

主题

`A` — 输入矩阵
矩阵

`outputForm` — 奇异值的输出格式
`"vector"` | `"matrix"`

`U` — 左奇异向量
矩阵

`S` — 奇异值
对角矩阵 | 列向量

`V` — 右奇异向量
矩阵

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

R2021b: `svd` 在输入为非有限时返回 `NaN`