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null

矩阵的零空间

说明

示例

Z = null(A) 返回 A 的零空间的标准正交基。

示例

Z = null(A,'r') 返回 A 的零空间的“有理”基,它通常不是正交基。如果 A 是具有小整数元素的小矩阵,则 Z 的元素是小整数的比率。此方法在数值上不如 null(A) 准确。

示例

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使用 null 函数计算矩阵的零空间的标准正交基和有理基向量。矩阵的零空间包含满足 Ax=0 的向量 x

创建一个 4×4 幻方矩阵。此矩阵秩亏,其中一个奇异值等于零。

A = magic(4)
A = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

计算 A 的零空间的标准正交基。确认 Ax1=0(在舍入误差内)。

x1 = null(A)
x1 = 4×1

   -0.2236
   -0.6708
    0.6708
    0.2236

norm(A*x1)
ans = 3.0652e-15

现在计算零空间的有理基。确认 Ax2=0

x2 = null(A,'r')
x2 = 4×1

    -1
    -3
     3
     1

norm(A*x2)
ans = 0

x1x2 相似,但归一化不同。

求某欠定方程组的一个特定解,然后获得所有解的通用形式。

欠定线性方程组 Ax=b 包含的未知数比方程多。欠定方程组可以有无限多个解或没有解。当方程组有无限多个解时,它们都位于一条直线上。该线上的各点均通过零空间向量的线性组合获得。

创建一个 2×4 系数矩阵并使用反斜杠求解方程 Ax0=b,其中 b 是由 1 组成的向量。用反斜杠计算问题的最小二乘解。

A = [1 8 15 67; 7 14 16 3]
A = 2×4

     1     8    15    67
     7    14    16     3

b = ones(2,1);
x0 = A\b
x0 = 4×1

         0
         0
    0.0623
    0.0010

欠定方程组的完全通解具有 x=x0+Ny 形式,其中:

  • NA 的零空间。

  • y 是合适长度的任何向量。

  • x0 是用反斜杠计算的解。

计算 A 的零空间,然后使用结果来构造方程组的另一个解。检查新解满足 Ax=b(在舍入误差内)。

N = null(A)
N = 4×2

   -0.2977   -0.8970
   -0.6397    0.4397
    0.7044    0.0157
   -0.0769   -0.0426

x = x0 + N*[1; -2]
x = 4×1

    1.4963
   -1.5192
    0.7354
    0.0093

norm(A*x-b)
ans = 2.8908e-14

输入参数

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输入矩阵。

数据类型: single | double
复数支持:

输出参数

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零空间基向量,以矩阵的列形式返回。Z 满足属性:

  • A*Z 含有可忽略元素。

  • size(Z,2)A 的空值的估计值。

如果 rank(A) 等于 size(A,2),则 Z 为空。

算法

null(A) 计算矩阵的奇异值分解,即 [U,S,V] = svd(A,0)V 中没有对应的非零奇异值的列的零空间形成一组标准正交基向量。

零空间 null(A,'r') 的“有理”基是从通过 rref 计算得到的 A 的简化行阶梯形矩阵形式获得的。

扩展功能

另请参阅

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在 R2006a 之前推出