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chol

Cholesky 分解

说明

示例

R = chol(A) 将对称正定矩阵 A 分解成满足 A = R'*R 的上三角 R。如果 A 是非对称矩阵,则 chol 将矩阵视为对称矩阵,并且只使用 A 的对角线和上三角形。

示例

R = chol(A,triangle) 指定在计算分解时使用 A 的哪个三角因子。例如,如果 triangle'lower',则 chol 仅使用 A 的对角线和下三角部分来生成满足 A = R*R' 的下三角矩阵 Rtriangle 的默认值是 'upper'

示例

[R,flag] = chol(___) 还返回输出 flag,指示 A 是否为对称正定矩阵。您可以使用上述语法中的任何输入参数组合。当您指定 flag 输出时,如果输入矩阵不是对称正定矩阵,chol 不会生成错误。

  • 如果 flag = 0,则输入矩阵是对称正定矩阵,分解成功。

  • 如果 flag 不为零,则输入矩阵不是对称正定矩阵,flag 为整数,表示分解失败的主元位置的索引。

示例

[R,flag,P] = chol(S) 另外返回一个置换矩阵 P,这是 amd 获得的稀疏矩阵 S 的预先排序。如果 flag = 0,则 S 是对称正定矩阵,R 是满足 R'*R = P'*S*P 的上三角矩阵。

示例

[R,flag,P] = chol(___,outputForm) 使用上述语法中的任何输入参数组合,指定是以矩阵还是向量形式返回置换信息 P。此选项仅可用于稀疏矩阵输入。例如,如果 outputForm'vector'flag = 0,则 S(p,p) = R'*RoutputForm 的默认值是 'matrix',满足 R'*R = P'*S*P

示例

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使用 chol 分解对称系数矩阵,然后使用 Cholesky 因子求解线性方程组。

创建在对角线上为正值的对称矩阵。

A = [1 0 1; 0 2 0; 1 0 3]
A = 3×3

     1     0     1
     0     2     0
     1     0     3

计算矩阵的 Cholesky 因子。

R = chol(A)
R = 3×3

    1.0000         0    1.0000
         0    1.4142         0
         0         0    1.4142

为方程 Ax=b 的右侧创建一个向量。

b = sum(A,2);

由于 A=RTR 具有 Cholesky 分解,该线性方程变为 RTRx=b。使用反斜杠运算符求解 x

x = R\(R'\b)
x = 3×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000

计算矩阵的上下 Cholesky 分解,并验证结果。

使用 gallery 函数创建一个 6×6 对称正定测试矩阵。

A = gallery('lehmer',6);

使用 A 的上三角形计算 Cholesky 因子。

R = chol(A)
R = 6×6

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667
         0    0.8660    0.5774    0.4330    0.3464    0.2887
         0         0    0.7454    0.5590    0.4472    0.3727
         0         0         0    0.6614    0.5292    0.4410
         0         0         0         0    0.6000    0.5000
         0         0         0         0         0    0.5528

验证上三角因子满足 R'*R - A = 0(在舍入误差内)。

norm(R'*R - A)
ans = 2.8886e-16

现在,指定 'lower' 选项以使用 A 的下三角形计算 Cholesky 因子。

L = chol(A,'lower')
L = 6×6

    1.0000         0         0         0         0         0
    0.5000    0.8660         0         0         0         0
    0.3333    0.5774    0.7454         0         0         0
    0.2500    0.4330    0.5590    0.6614         0         0
    0.2000    0.3464    0.4472    0.5292    0.6000         0
    0.1667    0.2887    0.3727    0.4410    0.5000    0.5528

验证下三角因子满足 L*L' - A = 0(在舍入误差内)。

norm(L*L' - A)
ans = 2.1158e-16

当输入矩阵不是对称正定矩阵时,使用带两个输出的 chol 来隐藏错误。

创建一个 5×5 二项式系数矩阵。此矩阵是对称正定矩阵,因此我们从最后一个元素中减去 1 以使它不再是正定矩阵。

A = pascal(5);
A(end) = A(end) - 1
A = 5×5

     1     1     1     1     1
     1     2     3     4     5
     1     3     6    10    15
     1     4    10    20    35
     1     5    15    35    69

计算 A 的 Cholesky 因子。如果 A 不是对称正定矩阵,请指定两个输出以避免生成错误。

[R,flag] = chol(A)
R = 4×4

     1     1     1     1
     0     1     2     3
     0     0     1     3
     0     0     0     1

flag = 5

由于 flag 为非零,因此它给出了分解失败所在位置的主元索引。chol 能够正确计算 q = flag-1 = 4 个行和列,然后在遇到矩阵中发生了变化的部分时失败。

验证 R'*R 返回的四行四列与 A(1:q,1:q) 一致。

q = flag-1;
R'*R
ans = 4×4

     1     1     1     1
     1     2     3     4
     1     3     6    10
     1     4    10    20

A(1:q,1:q)
ans = 4×4

     1     1     1     1
     1     2     3     4
     1     3     6    10
     1     4    10    20

计算稀疏矩阵的 Cholesky 因子,并使用置换输出创建具有较少非零元素的 Cholesky 因子。

基于 west0479 矩阵创建一个稀疏正定矩阵。

load west0479
A = west0479;
S = A'*A;

用两种不同方法计算矩阵的 Cholesky 因子。首先指定两个输出,然后指定三个输出以支持行和列重新排序。

[R,flag] = chol(S);
[RP,flagP,P] = chol(S);

对于每次计算,都检查 flag = 0 以确认计算成功。

if ~flag && ~flagP
    disp('Factorizations successful.')
else
    disp('Factorizations failed.')
end
Factorizations successful.

比较 chol(S) 和经过重新排序的矩阵 chol(P'*S*P) 中非零元素的个数。最佳做法是对稀疏矩阵使用 chol 的带三个输出的语法,因为对行和列重新排序会大大减少 Cholesky 因子中的非零元素个数。

subplot(1,2,1)
spy(R)
title('Nonzeros in chol(S)')
subplot(1,2,2)
spy(RP)
title('Nonzeros in chol(P''*S*P)')

使用 chol'vector' 选项以向量而不是矩阵形式返回置换信息。

创建一个稀疏有限元矩阵。

S = gallery('wathen',10,10);
spy(S)

计算矩阵的 Cholesky 因子,并指定 'vector' 选项以返回置换向量 p

[R,flag,p] = chol(S,'vector');

验证 flag = 0,表明计算成功。

if ~flag
    disp('Factorization successful.')
else
    disp('Factorization failed.')
end
Factorization successful.

验证 S(p,p) = R'*R(在舍入误差内)。

norm(S(p,p) - R'*R,'fro')
ans = 2.1039e-13

输入参数

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输入矩阵。参数 A 可以使用满存储或稀疏存储,但必须为方阵和对称正定矩阵。

chol 假设 A 是对称实矩阵,或者是 Hermitian 对称复矩阵。chol 仅使用 A 的上三角或下三角执行计算,具体取决于 triangle 的值。

数据类型: single | double
复数支持:

稀疏输入矩阵。S 必须为方阵和对称正定矩阵。

chol 假设 S 是对称实矩阵,或者是 Hermitian 对称复矩阵。chol 仅使用 S 的上三角或下三角执行计算,具体取决于 triangle 的值。

数据类型: double
复数支持:

输入矩阵的三角因子,指定为 'upper''lower'。使用此选项指定 chol 应使用输入矩阵的上三角或下三角来计算分解。chol 假设输入矩阵是对称实矩阵或 Hermitian 复矩阵。chol 仅使用上三角或下三角执行计算。

使用 'lower' 选项相当于使用 'upper' 选项和输入矩阵转置调用 chol,然后转置输出 R

示例: R = chol(A,'lower')

置换输出的形状,指定为 'matrix''vector'。此标志控制置换输出 P 是以置换矩阵还是置换向量形式返回。

  • 如果 flag = 0,则 S 是对称正定矩阵且 P'*S*P = R'*R(如果 P 是矩阵)或 S(p,p) = R'*R(如果 p 是向量)。

  • 如果 flag 不为零,则 S 不是对称正定矩阵。R 是上三角矩阵,大小为 q×n,其中 q = flag-1R'*R 的前 q 行和前 q 列的 L 形区域与 P'*S*P(如果 P 是矩阵)或 S(p,p)(如果 p 是向量)的大小一致。

  • 如果指定 'lower' 选项,则 R 是下三角矩阵,您可以用之前的恒等式中的 R*R' 替换 R'*R

P'*S*P(如果 P 是矩阵)或 S(p,p)(如果 p 是向量)的 Cholesky 因子可能比 S 的 Cholesky 因子稀疏。

示例: [R,flag,p] = chol(S,'vector')

输出参数

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Cholesky 因子,以矩阵形式返回。

  • 如果 R 是上三角矩阵,则 A = R'*R。如果您为稀疏矩阵指定 P 输出,则 P'*S*P = R'*RS(p,p) = R'*R,具体取决于 outputForm 的值。

  • 如果 R 是下三角矩阵,则 A = R*R'。如果您为稀疏矩阵指定 P 输出,则 P'*S*P = R*R'S(p,p) = R*R',具体取决于 outputForm 的值。

  • 如果 flag 不为零,R 将仅包含部分结果。flag 指示分解失败的主元位置,R 包含部分完成的分解。

对称正定标志,以标量形式返回。

  • 如果 flag = 0,则输入矩阵是对称正定矩阵。R 是上三角矩阵,满足 R'*R = A

  • 如果 A 不是对称正定矩阵,则 flag 为一个正整数,指示分解失败的主元位置,并且 MATLAB® 不会生成错误。R 是大小为 q = flag-1 的上三角矩阵,满足 R'*R = A(1:q,1:q)

  • 如果 A 为稀疏矩阵,则 R 是大小为 q×n 的上三角矩阵,这样 R'*R 的前 q 行和前 q 列的 L 形区域与 AS 的大小一致。

  • 如果指定 'lower' 选项,则 R 是下三角矩阵,您可以用之前的恒等式中的 R*R' 替换 R'*R

稀疏矩阵的置换,以矩阵或向量形式返回,具体取决于 outputForm 的值。有关此输出满足的恒等式的说明,请参阅 outputForm

该置换矩阵基于 amd 计算的近似最小度排序。但是,这种预先排序可能不同于直接通过 amd 获得的排序,因为 chol 会略微更改排序以提高性能。

详细信息

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对称正定矩阵

对称正定矩阵是所有特征值均为正值的对称矩阵。

对于任何可逆实矩阵 A,您可以用乘积 B = A'*A 构造一个对称正定矩阵。由于任何对称正定矩阵 B 都可以分解为乘积 R'*R,Cholesky 分解可对此公式求反。

对称半正定矩阵的定义与此类似,只是其特征值必须均为正值或零。

在数值计算中,正定矩阵和半正定矩阵之间的界限比较模糊。特征值精确等于零的情况很少见,但它们可以在数值上为零(在计算机精度的数量级上)。因此,chol 可能能够分解一个半正定矩阵,但对于特征值非常相似的另一个矩阵,分解可能会失败。

提示

扩展功能

另请参阅

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主题

在 R2006a 之前推出