legendre

使用 legendre 函数对向量进行运算，然后检查输出的格式。

计算向量的二阶勒让德函数值。

deg = 2;
x = 0:0.1:0.2;
P = legendre(deg,x)

P = 3×3

   -0.5000   -0.4850   -0.4400
         0   -0.2985   -0.5879
    3.0000    2.9700    2.8800

输出的格式如下：

二阶连带勒让德函数 ${\mathit{P}}_2^{\mathit{m}}$ 的方程为

因此，${\mathit{P}}_2^0\left(0\right)$ 的值为

该结果与 P(1,1) = -0.5000 一致。

计算几种归一化情况下的连带勒让德函数值。

计算非归一化一阶勒让德函数值 ${\mathit{P}}_1^{\mathit{m}}$。值的第一行对应于 $\mathit{m}=0$，第二行对应于 $\mathit{m}=1$。

x = 0:0.2:1;
n = 1;
P_unnorm = legendre(n,x)

P_unnorm = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
   -1.0000   -0.9798   -0.9165   -0.8000   -0.6000         0

接下来，计算施密特半归一化函数值。与非归一化值相比，当 $\mathit{m}>0$ 时，施密特形式的值都乘以缩放因子：

对于第一行，这两个归一化是相同的，因为 $\mathit{m}=0$。对于第二行，每个值都乘以缩放常量 -1。

P_sch = legendre(n,x,'sch')

P_sch = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
    1.0000    0.9798    0.9165    0.8000    0.6000         0

C1 = (-1) * sqrt(2*factorial(0)/factorial(2))

C1 = 
-1

最后，计算完全归一化的函数值。与非归一化值相比，完全归一化形式的值都乘以缩放因子：

此缩放因子适用于 $\mathit{m}$ 的所有值，因此第一行和第二行具有不同缩放因子。

P_norm = legendre(n,x,'norm')

P_norm = 2×6

         0    0.2449    0.4899    0.7348    0.9798    1.2247
    0.8660    0.8485    0.7937    0.6928    0.5196         0

Cm0 = sqrt((3/2))

Cm0 = 
1.2247

Cm1 = (-1) * sqrt((3/2)/2)

Cm1 = 
-0.8660

球谐函数出现在拉普拉斯方程的解中，用于表示在球面上定义的函数。使用 legendre 来计算和可视化 ${\mathit{Y}}_3^2$ 的球谐函数。

球谐函数的方程包括勒让德函数的一个项以及一个复指数：

首先，创建一个由值组成的网格，以表示 $0\le \theta \le \pi$（余纬度角）和 $0\le \varphi \le 2\pi$（方位角）的所有组合。此处，余纬度 $$\theta$$ 的范围从 0 度（位于北极）到 $$\pi /2$$ 度（位于赤道），到 $$\pi$$ 度（位于南极）。

dx = pi/60;
col = 0:dx:pi;
az = 0:dx:2*pi;
[phi,theta] = meshgrid(az,col);

计算 $\mathit{l}=3$ 的网格上的 ${\mathit{P}}_{\mathit{l}}^{\mathit{m}}\left(\cos \theta \right)$。

l = 3;
Plm = legendre(l,cos(theta));

由于 legendre 为 $\mathit{m}$ 的所有值计算答案，因此 Plm 会包含一些额外的函数值。提取 $\mathit{m}=2$ 的值并丢弃其余值。使用 reshape 函数将结果定向为与 phi 和 theta 具有相同大小的矩阵。

m = 2;
if l ~= 0
    Plm = reshape(Plm(m+1,:,:),size(phi));
end

计算 ${\mathit{Y}}_3^2$ 的球谐函数值。

a = (2*l+1)*factorial(l-m);
b = 4*pi*factorial(l+m);
C = sqrt(a/b);
Ylm = C .*Plm .*exp(1i*m*phi);

将球面坐标转换为笛卡尔坐标。此处，$$\pi /2-\theta$$ 成为纬度角，范围从 $$\pi /2$$（位于北极），到 0 度（位于赤道），再到 $$-\pi /2$$ 度（位于南极）。使用正负实数值绘制 ${\mathit{Y}}_3^2$ 的球谐函数。

[Xm,Ym,Zm] = sph2cart(phi, pi/2-theta, abs(real(Ylm)));
surf(Xm,Ym,Zm)
title('$Y_3^2$ spherical harmonic','interpreter','latex')