besselj

第一类贝塞尔函数

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语法

J = besselj(nu,Z)

J = besselj(nu,Z,scale)

说明

J = besselj(nu,Z) 为数组 Z 中的每个元素计算第一类贝塞尔函数 J_ν(z)。

示例

J = besselj(nu,Z,scale) 指定是否呈指数缩放第一类贝塞尔函数以避免溢出或精度损失。如果 scale 为 1，则 besselj 的输出按因子 exp(-abs(imag(Z))) 进行缩放。

示例

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绘制第一类贝塞尔函数图

打开实时脚本

定义域。

z = 0:0.1:20;

计算前五个第一类贝塞尔函数。J 的每一行包含在 z 中的点上计算的某阶函数的值。

J = zeros(5,201);
for i = 0:4
    J(i+1,:) = besselj(i,z);
end

在同一图窗中绘制所有函数。

plot(z,J)
grid on
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','Location','Best')
title('Bessel Functions of the First Kind for $\nu \in [0, 4]$','interpreter','latex')
xlabel('z','interpreter','latex')
ylabel('$J_\nu(z)$','interpreter','latex')

Figure contains an axes object. The axes object with title Bessel Functions of the First Kind for nu in bracketleft 0 , 4 bracketright, xlabel z, ylabel J indexOf nu baseline leftParenthesis z rightParenthesis contains 5 objects of type line. These objects represent J_0, J_1, J_2, J_3, J_4.

计算呈指数缩放的贝塞尔函数

打开实时脚本

为 $z$ 的复数值计算未缩放的 (J) 和经过缩放的 (Js) 第一类贝塞尔函数 $J_{2} (z)$ 。

x = -10:0.3:10;
y = x';
z = x + 1i*y;
scale = 1;
J = besselj(2,z);
Js = besselj(2,z,scale);

比较经过缩放的函数和未缩放函数的虚部图。对于 abs(imag(z)) 的大值，未缩放的函数很快上溢超出双精度的限制，不再可计算。经过缩放的函数从计算中消除了这种占主导状态的指数行为，因此与未缩放的函数相比，具有更大的可计算性范围。

surf(x,y,imag(J))
title('Bessel Function of the First Kind','interpreter','latex')
xlabel('real(z)','interpreter','latex')
ylabel('imag(z)','interpreter','latex')

Figure contains an axes object. The axes object with title Bessel Function of the First Kind, xlabel real(z), ylabel imag(z) contains an object of type surface.

surf(x,y,imag(Js))
title('Scaled Bessel Function of the First Kind','interpreter','latex')
xlabel('real(z)','interpreter','latex')
ylabel('imag(z)','interpreter','latex')

Figure contains an axes object. The axes object with title Scaled Bessel Function of the First Kind, xlabel real(z), ylabel imag(z) contains an object of type surface.

输入参数

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`nu` — 方程的阶
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

方程的阶，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。nu 是一个实数，用于指定第一类贝塞尔函数的阶。nu 和 Z 的大小必须相同，或者其中一个可以为标量。

示例: besselj(3,0:5)

数据类型: single | double

`Z` — 函数的域
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

函数的域，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。besselj 是实数值，其中 Z 是正值。nu 和 Z 的大小必须相同，或者其中一个可以为标量。

示例: besselj(1,[1-1i 1+0i 1+1i])

数据类型: single | double
复数支持: 是

`scale` — 切换到缩放函数
`0` (默认) | `1`

切换到缩放函数，指定为下列值之一：

0（默认值）- 无缩放
1 - 按 exp(-abs(imag(Z))) 缩放 besselj 的输出

在复平面上，besselj 的模随着 abs(imag(Z)) 的值增加而快速增长，因此呈指数缩放输出对于 abs(imag(Z)) 的大值很有用；如果不这样处理，结果会很快损失精度或上溢超出双精度的限制。

示例: besselj(3,0:5,1)

详细信息

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贝塞尔函数

以下微分方程（其中 ν 是实数常量）称为贝塞尔方程：

$z^{2} \frac{d^{2} y}{d z^{2}} + z \frac{d y}{d z} + (z^{2} - ν^{2}) y = 0.$

它的解称为贝塞尔函数。

第一类贝塞尔函数（表示为 J_ν(z) 和 J_–ν(z)）构成了非整数 ν 的贝塞尔方程的一组基本解。J_ν(z) 通过以下方式定义：

$J_{ν} (z) = {(\frac{z}{2})}^{ν} \sum_{(k = 0)}^{\infty} \frac{{(\frac{- z^{2}}{4})}^{k}}{k! Γ (ν + k + 1)} .$

第二类贝塞尔函数（表示为 Y_ν(z)）构成了贝塞尔方程的另一个解，与 J_ν(z) 线性无关。Y_ν(z) 通过以下方式定义：

$Y_{ν} (z) = \frac{J_{ν} (z) \cos (ν π) - J_{- ν} (z)}{\sin (ν π)} .$

您可以使用 bessely 计算第二类贝塞尔函数。

提示

贝塞尔函数与汉克尔函数相关，也称为第三类贝塞尔函数，

$\begin{array}{l} H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z) \\ H_{ν}^{(2)} (z) = J_{ν} (z) - i Y_{ν} (z) . \end{array}$

$H_{ν}^{(K)} (z)$ 是 besselh，J_ν(z) 是 besselj，Y_ν(z) 是 bessely。汉克尔函数同样构成贝塞尔方程的一组基本解（请参阅 besselh）。

参考

[1] Amos, D. E. “Algorithm 644: A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order.” ACM Transactions on Mathematical Software 12, no. 3 (September 1986): 265–273. https://dl.acm.org/doi/10.1145/7921.214331.

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

besselj 函数完全支持 tall 数组。有关详细信息，请参阅 tall 数组。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

始终返回复数结果。
不支持严格的单精度计算。在生成的代码中，单精度输入生成单精度输出。但是，函数内部的变量可能是双精度。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

用法说明和限制：

始终返回复数结果。
不支持严格的单精度计算。在生成的代码中，单精度输入生成单精度输出。但是，函数内部的变量可能是双精度。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

besselj 函数支持 GPU 数组输入，但有以下用法说明和限制：

阶数 nu 必须包含非负实整数值。
参量 Z 必须包含实数值。

有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

此函数完全支持分布式数组。有关详细信息，请参阅使用分布式数组运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

besselh | besseli | besselk | bessely

besselj

语法

说明

示例

绘制第一类贝塞尔函数图

计算呈指数缩放的贝塞尔函数

输入参数

nu — 方程的阶 标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

Z — 函数的域 标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

scale — 切换到缩放函数 0 (默认) | 1

详细信息

贝塞尔函数

提示

参考

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

另请参阅

`nu` — 方程的阶
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

`Z` — 函数的域
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

`scale` — 切换到缩放函数
`0` (默认) | `1`

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。