besselh

第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）

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语法

H = besselh(nu,Z)

H = besselh(nu,K,Z)

H = besselh(nu,K,Z,scale)

说明

H = besselh(nu,Z) 为数组 Z 中的每个元素计算第一类汉克尔函数 $H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z)$ 。

示例

H = besselh(nu,K,Z) 为数组 Z 中的每个元素计算第一类或第二类汉克尔函数 $H_{ν}^{(K)} (z)$ ，其中 K 为 1 或 2。

示例

H = besselh(nu,K,Z,scale) 指定是否缩放汉克尔函数以避免溢出或精度损失。如果 scale 为 1，则第一类汉克尔函数 $H_{ν}^{(1)} (z)$ 按 $e^{- i Z}$ 进行缩放，第二类汉克尔函数 $H_{ν}^{(2)} (z)$ 按 $e^{+ i Z}$ 进行缩放。

示例

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汉克尔函数的模数和相位

打开实时脚本

生成汉克尔函数 $H_{0}^{(1)} (z)$ [1] 的模和相位的等高线图。

创建一个由域值构成的网格。

[X,Y] = meshgrid(-4:0.002:2,-1.5:0.002:1.5);

在此域中计算汉克尔函数并生成模量等高线图。

H = besselh(0,X+1i*Y);
contour(X,Y,abs(H),0:0.2:3.2)
hold on

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type contour.

在同一图窗中，添加该相位的等高线图。

contour(X,Y,rad2deg(angle(H)),-180:10:180)
hold off

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type contour.

渐近行为

打开实时脚本

绘制第二类汉克尔函数的实部和虚部，并检查其渐近行为。

计算区间 $[0.1, 25]$ 中的第二类汉克尔函数 $H_{0}^{(2)} (z) = J_{0} (z) - i Y_{0} (z)$ 。

k = 2;
nu = 0;
z = linspace(0.1,25,200);
H = besselh(nu,k,z);

绘制函数的实部和虚部。在同一图窗中，绘制线性组合 $\sqrt{J_{0}^{2} (z) + Y_{0}^{2} (z)}$ ，这将显示实部和虚部的幅值的渐近行为。

plot(z,real(H),z,imag(H))
grid on
hold on
M = sqrt(real(H).^2 + imag(H).^2);
plot(z,M,'--')
legend('$J_0(z)$', '$Y_0(z)$', '$\sqrt{J_0^2 (z) + Y_0^2 (z)}$','interpreter','latex')

$Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. These objects represent $J_0(z)$, $Y_0(z)$, $\sqrt{J_0^2 (z) + Y_0^2 (z)}$.$

呈指数缩放的汉克尔函数

打开实时脚本

计算复平面上呈指数缩放的汉克尔函数 $H_{1}^{(2)} (z) {\cdot e}^{iz}$ ，并将其与未缩放的函数进行比较。

计算复平面上的二阶未缩放汉克尔函数。当 z 的正虚部较大时，函数的值很快就会发散。这种现象限制了可计算值的范围。

k = 2;
nu = 1;
x = -5:0.4:15;
y = x';
z = x + 1i*y;
scaled = 1;
H = besselh(nu,k,z);
surf(x,y,imag(H))
xlabel('real(z)')
ylabel('imag(z)')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel real(z), ylabel imag(z) contains an object of type surface.

现在，计算复平面上的 $H_{1}^{(2)} (z) {\cdot e}^{iz}$ ，并将其与未缩放的函数进行比较。当 z 的正虚部较大时，经过缩放的函数通过避免溢出和精度损失来增大可计算值的范围。

Hs = besselh(nu,k,z,scaled);
surf(x,y,imag(Hs))
xlabel('real(z)')
ylabel('imag(z)')

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel real(z), ylabel imag(z) contains an object of type surface.

输入参数

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`nu` — 方程的阶
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

方程的阶，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。nu 指定汉克尔函数的阶。nu 和 Z 的大小必须相同，或者其中一个可以为标量。

示例: besselh(3,Z)

数据类型: single | double

`K` — 汉克尔函数的类别
`1` (默认) | `2`

汉克尔函数的类别，指定为 1 或 2。

如果 K = 1，则 besselh 计算第一类汉克尔函数 $H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z)$ 。
如果 K = 2，则 besselh 计算第二类汉克尔函数 $H_{ν}^{(2)} (z) = J_{ν} (z) - i Y_{ν} (z)$ 。

示例: besselh(nu,2,Z)

`Z` — 函数的域
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

函数的域，指定为标量、向量、矩阵或多维数组。nu 和 Z 的大小必须相同，或者其中一个可以为标量。

示例: besselh(nu,[1-1i 1+0i 1+1i])

数据类型: single | double
复数支持: 是

`scale` — 切换到缩放函数
`0` (默认) | `1`

切换到缩放函数，指定为下列值之一：

0（默认值）- 无缩放
1 - 根据 K 的值缩放 besselh 的输出：
- 如果 K = 1，则按 $e^{- i Z}$ 缩放第一类汉克尔函数 $H_{ν}^{(1)} (z)$ 。
- 如果 K = 2，则按 $e^{+ i Z}$ 缩放第二类汉克尔函数 $H_{ν}^{(2)} (z)$ 。
在复平面上，当 imag(Z) 为大的负值时， $H_{ν}^{(1)} (z)$ 溢出。同样，当 imag(Z) 为大的正值时， $H_{ν}^{(2)} (z)$ 也会溢出。在这两种情况下，呈指数缩放 besselh 的输出很有用，因为如果不这样处理，则函数会很快损失精度或上溢超出双精度的限制。

示例: besselh(nu,K,Z,1)

详细信息

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汉克尔函数和贝塞尔方程

以下微分方程（其中 ν 是实数常量）称为贝塞尔方程：

$z^{2} \frac{d^{2} y}{d z^{2}} + z \frac{d y}{d z} + (z^{2} - ν^{2}) y = 0.$

它的解称为贝塞尔函数。

第一类贝塞尔函数（表示为 J_ν(z) 和 J_–ν(z)）构成非整数 ν 的贝塞尔方程的一组基本解。第二类贝塞尔函数（表示为 Y_ν(z)）构成贝塞尔方程的另一个解（与 J_ν(z) 线性无关），它由以下方程定义：

$Y_{ν} (z) = \frac{J_{ν} (z) \cos (ν π) - J_{- ν} (z)}{\sin (ν π)} .$

第三类贝塞尔函数（也称为第一类和第二类汉克尔函数）由贝塞尔函数的线性组合定义，其中 J_ν(z) 是 besselj，Y_ν(z) 是 bessely，如下所示：

$\begin{array}{l} H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z) \\ H_{ν}^{(2)} (z) = J_{ν} (z) - i Y_{ν} (z) . \end{array}$

参考

[1] Abramowitz, M., and I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55, Dover Publications, 1965.

[2] Amos, D. E. “Algorithm 644: A Portable Package for Bessel Functions of a Complex Argument and Nonnegative Order.” ACM Transactions on Mathematical Software 12, no. 3 (September 1986): 265–273. https://dl.acm.org/doi/10.1145/7921.214331.

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

besselh 函数完全支持 tall 数组。有关详细信息，请参阅 tall 数组。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

始终返回复数结果。
不支持严格的单精度计算。在生成的代码中，单精度输入生成单精度输出。但是，函数内部的变量可能是双精度。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

用法说明和限制：

始终返回复数结果。
不支持严格的单精度计算。在生成的代码中，单精度输入生成单精度输出。但是，函数内部的变量可能是双精度。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

此函数完全支持分布式数组。有关详细信息，请参阅使用分布式数组运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

besselj | bessely | besseli | besselk

besselh

语法

说明

示例

汉克尔函数的模数和相位

渐近行为

呈指数缩放的汉克尔函数

输入参数

nu — 方程的阶 标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

K — 汉克尔函数的类别 1 (默认) | 2

Z — 函数的域 标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

scale — 切换到缩放函数 0 (默认) | 1

详细信息

汉克尔函数和贝塞尔方程

参考

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

另请参阅

`nu` — 方程的阶
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

`K` — 汉克尔函数的类别
`1` (默认) | `2`

`Z` — 函数的域
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

`scale` — 切换到缩放函数
`0` (默认) | `1`

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。