damp

固有频率和阻尼比

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语法

damp(sys)

[wn,zeta] = damp(sys)

[wn,zeta,p] = damp(sys)

___ = damp(___,Name=Value)

说明

damp(sys) 显示线性模型 sys 的极点的阻尼比、固有频率和时间常数。对于离散时间模型，该表还包括每个极点的幅值。极点按频率值的升序排列。

示例

[wn,zeta] = damp(sys) 返回 sys 极点的固有频率 wn 和阻尼比 zeta。

示例

[wn,zeta,p] = damp(sys) 还返回 sys 的极点 p。

示例

___ = damp(___,Name=Value) 根据一个或多个指定的名称-值参量计算稀疏模型 sys 的极极点集的阻尼比和固有频率。如果不指定任何名称-值参量，该函数将计算最多前 1000 极点具有最小幅值的极点的阻尼比和固有频率。当 sys 是非稀疏模型时，该函数会忽略名称-值参量。 (自 R2025a 起)

示例

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显示连续时间系统的固有频率、阻尼比和极点

此示例使用:

Control System Toolbox Control System Toolbox

打开实时脚本

对于此示例，考虑以下连续时间传递函数：

$s y s (s) = \frac{2 s^{2} + 5 s + 1}{s^{3} + 2 s - 3} .$

创建连续时间传递函数。

sys = tf([2,5,1],[1,0,2,-3]);

显示 sys 的固有频率、阻尼比、时间常数和极点。

damp(sys)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
  1.00e+00                -1.00e+00       1.00e+00        -1.00e+00    
 -5.00e-01 + 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00    
 -5.00e-01 - 1.66e+00i     2.89e-01       1.73e+00         2.00e+00

sys 的极点包含一个不稳定极点和一对位于 s 平面左半部分的复共轭。不稳定极点对应的阻尼比为-1，它增加了系统的振荡，导致系统不稳定，所以称之为驱动力而不是阻尼力。

显示离散时间系统的固有频率、阻尼比和极点

此示例使用:

Control System Toolbox Control System Toolbox

打开实时脚本

对于此示例，考虑以下采样时间为 0.01 秒的离散时间传递函数：

$s y s (z) = \frac{5 z^{2} + 3 z + 1}{z^{3} + 6 z^{2} + 4 z + 4}$ .

创建离散时间传递函数。

sys = tf([5 3 1],[1 6 4 4],0.01)

sys =
 
     5 z^2 + 3 z + 1
  ---------------------
  z^3 + 6 z^2 + 4 z + 4
 
Sample time: 0.01 seconds
Discrete-time transfer function.
Model Properties

使用 damp 命令显示有关 sys 极点的信息。

damp(sys)

                                                                                    
         Pole             Magnitude     Damping       Frequency      Time Constant  
                                                    (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                                    
 -3.02e-01 + 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -3.02e-01 - 8.06e-01i     8.61e-01     7.74e-02       1.93e+02         6.68e-02    
 -5.40e+00                 5.40e+00    -4.73e-01       3.57e+02        -5.93e-03

Magnitude 列显示离散时间极点幅值。Damping、Frequency 和 Time Constant 列显示使用等效连续时间极点计算的值。

零极点增益模型的固有频率和阻尼比

打开实时脚本

对于此示例，创建一个具有两个输出和一个输入的离散时间零极点增益模型。使用 0.1 秒的采样时间。

sys = zpk({0;-0.5},{0.3;[0.1+1i,0.1-1i]},[1;2],0.1)

sys =
 
  From input to output...
          z
   1:  -------
       (z-0.3)
 
            2 (z+0.5)
   2:  -------------------
       (z^2 - 0.2z + 1.01)
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.
Model Properties

计算零极点增益模型 sys 的固有频率和阻尼比。

[wn,zeta] = damp(sys)

zeta = 3×1

    1.0000
   -0.0034
   -0.0034

wn 和 zeta 中的每个条目对应于 sys 中的 I/O 总数。zeta 按 wn 中固有频率值的升序排列。

计算状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点

打开实时脚本

对于此示例，计算以下状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点：

$A = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} - 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array}], B = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}], C = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 0 \end{array}], D = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0 & 1 \end{array}] .$

使用状态空间矩阵创建状态空间模型。

A = [-2 -1;1 -2];
B = [1 1;2 -1];
C = [1 0];
D = [0 1];
sys = ss(A,B,C,D);

使用 damp 计算 sys 的固有频率、阻尼比和极点。

[wn,zeta,p] = damp(sys)

zeta = 2×1

    0.8944
    0.8944

p = 2×1 complex

  -2.0000 + 1.0000i
  -2.0000 - 1.0000i

sys 的极点是位于 s 平面左半部分的复共轭。相应的阻尼比小于 1。因此，sys 是一个欠阻尼系统。

计算指定频率范围内稀疏模型的阻尼比和极点

自 R2025a 起

此示例使用:

Control System Toolbox Control System Toolbox

打开实时脚本

对于此示例，计算光学滤波器的稀疏状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点。对于稀疏状态空间模型，您可以确定感兴趣的频率范围内计算极点集的阻尼比。

加载该模型。

load sparseFilter.mat
size(sys)

Sparse state-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 1668 states.

稀疏模型通常规模较大，计算所有极点可能不可行或计算成本高昂。默认情况下，damp 函数计算幅值最小的前 1000 个极点。

[wn,zeta,p] = damp(sys);
size(p)

ans = 1×2

        1000           1

为了避免计算大量的极点，您可以指定其他选项，例如感兴趣的频率范围。通常，您指定一个低频带，并且该函数仅计算该范围内固有频率的极点。

damp(sys,Focus=[10 1000]);

                                                           
   Pole        Damping       Frequency      Time Constant  
                           (rad/seconds)      (seconds)    
                                                           
 -3.76e+01     1.00e+00       3.76e+01         2.66e-02    
 -7.78e+02     1.00e+00       7.78e+02         1.29e-03    
 -7.92e+02     1.00e+00       7.92e+02         1.26e-03

输入参数

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`sys` — 线性动态系统
动态系统模型

线性动态系统，指定为 SISO 或 MIMO 动态系统模型。您可以使用的动态系统包括：

连续时间或离散时间数值 LTI 模型，如 tf (Control System Toolbox)、zpk (Control System Toolbox) 或 ss (Control System Toolbox) 模型。
广义或不确定的 LTI 模型，如 genss (Control System Toolbox) 或 uss (Robust Control Toolbox) 模型。（使用不确定模型需要 Robust Control Toolbox™ 软件。）
damp 假设
- 可调控制设计模块的可调组件的当前值。
- 不确定控制设计模块的标称模型值。

如果 sys 是稀疏状态空间模型（sparss (Control System Toolbox) 或 mechss (Control System Toolbox)），则软件会计算指定焦点频带内极极点集的阻尼比和固有频率。对于稀疏模型，请使用名称-值参量来指定计算选项。如果不指定任何选项，软件将计算幅值最小的前 1000 个极点。对于具有瑞利阻尼的 mechss 模型，该软件根据 (K,M) 的特征值计算极点。否则，软件将根据等效的 sparss 模型计算极点。 (自 R2025a 起)

名称-值参数

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以 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 的形式指定可选参量对组，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: [wn,zeta] = damp(sparseSys,Focus=[0 10],Display="off")

`Focus` — 关注的频率范围
`[0 Inf]` (默认) | 向量

自 R2025a 起

感兴趣的频率范围，指定为 [fmin,fmax] 形式的向量。当您指定关注的频率范围时，该算法仅计算具有该范围内的固有频率的极点。对于离散时间模型，软件通过突斯汀变换来逼近等效的固有频率。

对于对称半定稀疏模型，您可以指定任意频率范围，其中 0 ≤ fmin < fmax ≤ ∞。对于非对称 sparss 模型，您必须将频率范围指定为 [0,fmax] 或 [fmin,inf]。

由于软件计算指定频率范围内的所有极点，因此通常需要指定一个低频范围来限制计算大量的极点。默认情况下，焦点未指定 ([0 Inf])，并且算法计算最多 MaxNumber 个极点。

`MaxNumber` — 要计算的极点和零点的最大数目
`1000` (默认) | 正整数

自 R2025a 起

要计算的极点和零点的最大数目，指定为正整数。该值限制了算法计算的极点数量。

`Shift` — 频谱偏移
`0` (默认) | 有限标量

自 R2025a 起

频谱偏移，指定为有限标量。

软件使用 A-sigma*E 的逆幂迭代来计算固有频率在指定范围 [0,fmax] 内的极点，从而获得最接近移位 sigma 的特征值。当 A 为奇异矩阵且 sigma 为零时，由于不存在逆矩阵，算法会失败。因此，对于具有积分作用的稀疏模型（s = 0，或对于离散时间模型，在 z = 1 时），您可以使用此选项将极点或零点隐式地偏移至最接近此偏移值的值。指定一个不等于原始模型现有极点值的偏移值。

`Tolerance` — 计算极点的精度
`1e-12` (默认) | 正有限标量

自 R2025a 起

计算极点的精度公差，指定为正有限标量。此值控制逆幂迭代中计算得到的特征值的收敛。

`Display` — 显示或隐藏进度报告
`"on"` (默认) | `"off"`

自 R2025a 起

显示或隐藏进度报告，指定为 "off" 或 "on"。

输出参量

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`wn` — 每个极点的固有频率
向量

sys 每个极点的固有频率，以按频率值升序排列的向量形式返回。频率以 sys 的 TimeUnit 属性的倒数为单位来表示。

如果 sys 是具有指定采样时间的离散时间模型，则 wn 包含等效连续时间极点的固有频率。如果未指定采样时间，则 damp 假定采样时间值 1 并相应地计算 wn。有关详细信息，请参阅算法。

`zeta` — 每个极点的阻尼比
向量

每个极点的阻尼比，以与 wn 相同顺序排序的向量形式返回。

如果 sys 是具有指定采样时间的离散时间模型，则 zeta 包含等效连续时间极点的阻尼比。如果未指定采样时间，则 damp 假定采样时间值 1 并相应地计算 zeta。有关详细信息，请参阅算法。

`p` — 动态系统模型的极点
向量

动态系统模型的极点，以与 wn 相同顺序排序的向量形式返回。p 与 pole(sys) 的输出相同，只是顺序不同。有关极点的详细信息，请参阅 pole。

算法

damp 计算系统极点的固有频率、时间常数和阻尼比，如下表所定义：

	连续时间	具有采样时间 Ts 的离散时间
Pole Location	$s$	$z$
Equivalent Continuous-Time Pole	$Not applicable$	$s = \frac{l n (z)}{T_{s}}$
Natural Frequency	$ω_{n} = \| s \|$	$ω_{n} = \| s \| = \| \frac{l n (z)}{T_{s}} \|$
Damping Ratio	$ζ = - c o s (∠ s)$	$\begin{array}{l} ζ & = - c o s (∠ s) & = - c o s (∠ l n (z)) \end{array}$
Time Constant	$τ = \frac{1}{ω_{n} ζ}$	$τ = \frac{1}{ω_{n} ζ}$

连续时间

具有采样时间 Ts 的离散时间

Pole Location

$s$

$z$

Equivalent Continuous-Time Pole

$Not applicable$

$s = \frac{l n (z)}{T_{s}}$

Natural Frequency

$ω_{n} = | s |$

$ω_{n} = | s | = | \frac{l n (z)}{T_{s}} |$

Damping Ratio

$ζ = - c o s (∠ s)$

$\begin{array}{l} ζ & = - c o s (∠ s) & = - c o s (∠ l n (z)) \end{array}$

Time Constant

$τ = \frac{1}{ω_{n} ζ}$

如果未指定采样时间，则 damp 假定采样时间值 1 并相应地计算 zeta。

对于稀疏状态空间模型，该软件使用 Krylov-Schur 算法 [1] 进行逆幂迭代来计算指定频带内的极点。 (自 R2025a 起)

参考

[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

全部展开

R2025a: 稀疏模型支持：计算感兴趣的频率范围内的极极点集

您现在可以计算感兴趣的指定频率范围内的稀疏状态空间模型的极极点集。默认情况下，该函数计算幅值最小的前 1000 个极点。为了避免计算大量的极点，您可以使用新的语法 [wn,z,p] = damp(sparseSys,Name=Value) 来指定感兴趣的频率范围或要计算的最大极极点等选项。

R2023b: 输出行为发生改变

当系统的极点位于零点或无穷大时，damp 函数的输出行为发生了变化。

该函数现在返回这些值。

连续时间
Pole Location Natural Frequency Damping Ratio
0 0 –1
Inf Inf –1
离散时间
Pole Location Natural Frequency Damping Ratio
0 Inf +1
1 0 –1
Inf Inf –1

Pole Location	Natural Frequency	Damping Ratio
`0`	`0`	`–1`
`Inf`	`Inf`	`–1`

Pole Location	Natural Frequency	Damping Ratio
`0`	`Inf`	`+1`
`1`	`0`	`–1`
`Inf`	`Inf`	`–1`

从数值上讲，稳定无限极点和不稳定无限极点之间没有区别。因此，该函数将所有无限极点视为不稳定的。

以前，对于这些情况，该函数返回 NaN。

另请参阅

damp

语法

说明

示例

显示连续时间系统的固有频率、阻尼比和极点

显示离散时间系统的固有频率、阻尼比和极点

零极点增益模型的固有频率和阻尼比

计算状态空间模型的固有频率、阻尼比和极点

计算指定频率范围内稀疏模型的阻尼比和极点

输入参数

sys — 线性动态系统 动态系统模型

名称-值参数

Focus — 关注的频率范围 [0 Inf] (默认) | 向量

MaxNumber — 要计算的极点和零点的最大数目 1000 (默认) | 正整数

Shift — 频谱偏移 0 (默认) | 有限标量

Tolerance — 计算极点的精度 1e-12 (默认) | 正有限标量

Display — 显示或隐藏进度报告 "on" (默认) | "off"

输出参量

wn — 每个极点的固有频率 向量

zeta — 每个极点的阻尼比 向量

p — 动态系统模型的极点 向量

算法

参考

版本历史记录

R2025a: 稀疏模型支持：计算感兴趣的频率范围内的极极点集

R2023b: 输出行为发生改变

另请参阅

`sys` — 线性动态系统
动态系统模型

`Focus` — 关注的频率范围
`[0 Inf]` (默认) | 向量

`MaxNumber` — 要计算的极点和零点的最大数目
`1000` (默认) | 正整数

`Shift` — 频谱偏移
`0` (默认) | 有限标量

`Tolerance` — 计算极点的精度
`1e-12` (默认) | 正有限标量

`Display` — 显示或隐藏进度报告
`"on"` (默认) | `"off"`

`wn` — 每个极点的固有频率
向量

`zeta` — 每个极点的阻尼比
向量

`p` — 动态系统模型的极点
向量