pinv

摩尔-彭罗斯伪逆

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语法

B = pinv(A)

B = pinv(A,tol)

说明

B = pinv(A) 返回矩阵 A 的摩尔-彭罗斯伪逆。

示例

B = pinv(A,tol) 指定容差值。pinv 将小于或等于容差的 A 的奇异值视为零。

示例

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使用伪逆求解线性方程组

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比较通过反斜杠 (\)、pinv 和 lsqminnorm 求得的线性方程组的解。

如果矩形系数矩阵 A 低秩，则使 norm(A*x-b) 最小化的最小二乘问题将有无限多个解。x1 = A\b 和 x2 = pinv(A)*b 返回两个解。这两个解具有以下特征：x1 只有 rank(A) 个非零分量，norm(x2) 是小于任何其他解的范数。

创建一个 rank(A) = 3 的 8×6 矩阵。

A = magic(8); 
A = A(:,1:6)

A = 8×6

    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

为方程组的右侧创建一个向量。

b = 260*ones(8,1)

为右侧选择的数字 260 是 A 的 8×8 幻数和。如果 A 仍然是 8×8 矩阵，则 x 有一个解是由 1 组成的向量。如果只有六列，方程仍然是一致的，因为仍然存在解，但解并非全部由 1 组成。由于矩阵低秩，因此有无限多个解。

使用反斜杠和 pinv 求两个解。

x1 = A\b

Warning: Rank deficient, rank = 3, tol =  1.882938e-13.

x2 = pinv(A)*b

从 norm(A*x1-b) 和 norm(A*x2-b) 仅存在舍入误差的意义上来说，这两个解都是精确的。解 x1 的特殊之处在于它只有三个非零元素。解 x2 的特殊之处在于 norm(x2) 小于其他任何解的对应值，包括 norm(x1)。

norm(x1)

ans = 
5.0990

norm(x2)

ans = 
3.2817

使用 lsqminnorm 计算此问题的最小二乘解会产生与使用 pinv 相同的解。lsqminnorm(A,b) 通常比 pinv(A)*b 更高效。

x3 = lsqminnorm(A,b)

norm(x3)

ans = 
3.2817

输入参数

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`A` — 输入矩阵
矩阵

输入矩阵。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`tol` — 奇异值容差
标量

奇异值容差，指定为标量。在计算伪逆时，pinv 会将小于或等于 tol 的奇异值视为零。

默认容差是 max(size(A))*eps(norm(A))。

示例: pinv(A,1e-4)

详细信息

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摩尔-彭罗斯伪逆

摩尔-彭罗斯伪逆是一种矩阵，可在不存在逆矩阵的情况下作为逆矩阵的部分替代。此矩阵常被用于求解没有唯一解或有许多解的线性方程组。

对于任何矩阵 A 来说，伪逆 B 都存在，是唯一的，并且具有与 A' 相同的维度。如果 A 是方阵且非奇异，则 pinv(A) 只是一种成本比较高的计算 inv(A) 的方式。但是，如果 A 不是方阵，或者是方阵且奇异，则 inv(A) 不存在。在这些情况下，pinv(A) 拥有 inv(A) 的部分（但非全部）属性：

$\begin{array}{l} 1. A B A = A \\ 2. B A B = B \\ 3. {(A B)}^{*} = A B \\ 4. {(B A)}^{*} = B A \end{array}$

此处，AB 和 BA 是埃尔米特矩阵。伪逆计算基于 svd(A)。该计算将小于或等于 tol 的奇异值视为零。

提示

您可以将应用于向量 b 的大部分 pinv（比如在 pinv(A)*b 中）替换为 lsqminnorm(A,b)，以计算线性方程组的最小范数最小二乘解。例如，在使用伪逆求解线性方程组中，lsqminnorm 产生与 pinv 相同的解。lsqminnorm 通常比 pinv 更高效，因为 lsqminnorm 使用 A 的完全正交分解来寻找其低秩逼近，并将其因子应用于 b。相比之下，pinv 使用奇异值分解来显式形成 A 的伪逆，然后必须乘以 b。lsqminnorm 也支持稀疏矩阵。

算法

pinv 通过奇异值分解来形成 A 的伪逆。S 对角线上小于或等于 tol 的奇异值被视为零，而 A 的表示变成：

$\begin{array}{l} A = U S V^{*} = [U_{1} U_{2}] [\begin{matrix} S_{1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] {[V_{1} V_{2}]}^{*} \\ A = U_{1} S_{1} V_{1}^{*} . \end{array}$

因此 A 的伪逆等于：

$B = V_{1} S_{1}^{- 1} U_{1}^{*} .$

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

代码生成不支持对此函数使用稀疏矩阵输入。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

请参考“C/C++ 代码生成”一节中的用法说明和限制。同样的限制也适用于 GPU 代码生成。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

pinv 函数完全支持 GPU 数组。要在 GPU 上运行该函数，请将输入数据指定为 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)。有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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R2021b: `pinv` 在输入为非有限时返回 `NaN`

当输入包含非有限值（Inf 或 NaN）时，pinv 返回 NaN 值。以前，pinv 在输入包含非有限值时会引发错误。

另请参阅

inv | qr | rank | svd | lsqminnorm | decomposition

pinv

语法

说明

示例

使用伪逆求解线性方程组

输入参数

A — 输入矩阵 矩阵

tol — 奇异值容差 标量

详细信息

摩尔-彭罗斯伪逆

提示

算法

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

版本历史记录

R2021b: pinv 在输入为非有限时返回 NaN

另请参阅

`A` — 输入矩阵
矩阵

`tol` — 奇异值容差
标量

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

R2021b: `pinv` 在输入为非有限时返回 `NaN`