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qmr

求解线性方程组 - 拟最小残差法

说明

示例

x = qmr(A,b) 尝试使用拟最小残差法求解关于 x 的线性方程组 A*x = b。如果尝试成功,qmr 会显示一条消息来确认收敛。如果 qmr 无法在达到最大迭代次数后收敛或出于任何原因暂停,则会显示一条包含相对残差 norm(b-A*x)/norm(b) 以及该方法停止时的迭代次数的诊断消息。

示例

x = qmr(A,b,tol) 指定该方法的容差。默认容差是 1e-6

示例

x = qmr(A,b,tol,maxit) 指定要使用的最大迭代次数。如果 qmr 无法在 maxit 次迭代内收敛,将显示诊断消息。

示例

x = qmr(A,b,tol,maxit,M) 指定预条件子矩阵 M 并有效求解关于 x 的方程组 M1Ax=M1b 来计算 x。使用预条件子矩阵可以改善问题的数值属性和计算的效率。

示例

x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2) 指定预条件子矩阵 M 的因子,使得 M = M1*M2

示例

x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) 指定解向量 x 的初始估计值。默认值为由零组成的向量。

示例

[x,flag] = qmr(___) 返回一个标志,指示算法是否成功收敛。当 flag = 0 时,收敛成功。您可以将此输出语法用于之前的任何输入参数组合。如果指定了 flag 输出,qmr 将不会显示任何诊断消息。

示例

[x,flag,relres] = qmr(___) 还会返回相对残差 norm(b-A*x)/norm(b)。如果 flag0,则 relres <= tol

示例

[x,flag,relres,iter] = qmr(___) 还会返回计算出 x 时的迭代次数 iter

示例

[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(___) 还会在每次迭代中返回残差范数向量(包括第一个残差 norm(b-A*x0))。

示例

全部折叠

使用采用默认设置的 qmr 求解系数矩阵为方阵的线性方程组,然后在求解过程中调整使用的容差和迭代次数。

创建密度为 50% 的随机稀疏矩阵 A。另为 Ax=b 的右侧创建随机向量 b

rng default
A = sprand(400,400,.5);
A = A'*A;
b = rand(400,1);

使用 qmr 求解 Ax=b。输出显示包括相对残差 Ax-bb 的值。

x = qmr(A,b);
qmr stopped at iteration 20 without converging to the desired tolerance 1e-06
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 20) has relative residual 0.12.

默认情况下,qmr 使用 20 次迭代和容差 1e-6,对于此矩阵,算法无法在 40 次迭代后收敛。由于残差仍然很大,这说明需要更多的迭代(或预条件子矩阵)。您还可以减小容差,使算法更容易收敛。

使用容差 1e-4 和 100 次迭代再次求解方程组。

x = qmr(A,b,1e-4,100);
qmr stopped at iteration 100 without converging to the desired tolerance 0.0001
because the maximum number of iterations was reached.
The iterate returned (number 100) has relative residual 0.063.

即使采用更宽松的容差和更多迭代,残差也并未改进多少。当迭代算法以这种方式停滞时,显然需要预条件子矩阵。

计算 A 的不完全 Cholesky 分解,并使用 L' 因子作为 qmr 的预条件子输入。

L = ichol(A);
x = qmr(A,b,1e-4,100,L');
qmr converged at iteration 57 to a solution with relative residual 6.1e-05.

使用预条件子可以充分改进问题的数值属性,使 qmr 能够收敛。

检查使用指定了预条件子矩阵的 qmr 来求解线性方程组的效果。

加载 west0479,它是一个非对称的 479×479 实稀疏矩阵。

load west0479
A = west0479;

定义 b 以使实际解是全为 1 的向量。

b = sum(A,2);

设置容差和最大迭代次数。

tol = 1e-12;
maxit = 20;

使用 qmr 根据请求的容差和迭代次数求解。指定五个输出以返回有关求解过程的信息:

  • x0 是计算 A*x0 = b 所得的解。

  • fl0 是指示算法是否收敛的标志。

  • rr0 是计算的解 x0 的残差。

  • it0 是计算出 x0 时的迭代次数。

  • rv0Ax-b 的残差历史记录组成的向量。

[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = qmr(A,b,tol,maxit);
fl0
fl0 = 1
rr0
rr0 = 0.7984
it0
it0 = 17

qmr 未在请求的 20 次迭代内收敛至请求的容差 1e-12,因此 fl0 为 1。第 17 次迭代是最佳近似解,也是按 it0 = 17 指示返回的近似解。

为了有助于缓慢收敛,您可以指定预条件子矩阵。由于 A 是非对称的,请使用 ilu 生成预条件子 M=LU。指定调降容差,以忽略值小于 1e-6 的非对角线元。通过指定 LU 作为 qmr 的输入,求解预条件方程组 M-1Ax=M-1b

setup = struct('type','ilutp','droptol',1e-6);
[L,U] = ilu(A,setup);
[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = qmr(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1
fl1 = 0
rr1
rr1 = 4.1557e-14
it1
it1 = 6

在第六次迭代中,使用 ilu 预条件子产生的相对残差小于规定的容差 1e-12。输出 rv1(1)norm(b),输出 rv1(end)norm(b-A*x1)

您可以通过绘制每次迭代的相对残差来跟踪 qmr 的进度。绘制每个解的残差历史记录图,并添加一条表示指定容差的线。

semilogy(0:length(rv0)-1,rv0/norm(b),'-o')
hold on
semilogy(0:length(rv1)-1,rv1/norm(b),'-o')
yline(tol,'r--');
legend('No preconditioner','ILU preconditioner','Tolerance','Location','East')
xlabel('Iteration number')
ylabel('Relative residual')

检查向 qmr 提供解的初始估计值的效果。

创建一个三对角稀疏矩阵。使用每行的总和作为 Ax=b 右侧的向量,以便 x 的预期解是由 1 组成的向量。

n = 900;
e = ones(n,1);
A = spdiags([e 2*e e],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);

使用 qmr 求解 Ax=b 两次:一次是使用默认的初始估计值,一次是使用解的良好初始估计值。对这两个解都使用 200 次迭代,并将初始估计值指定为所有元素均等于 0.99 的向量。

maxit = 200;
x1 = qmr(A,b,[],maxit);
qmr converged at iteration 27 to a solution with relative residual 9.5e-07.
x0 = 0.99*ones(size(A,2),1);
x2 = qmr(A,b,[],maxit,[],[],x0);
qmr converged at iteration 7 to a solution with relative residual 6.7e-07.

在这种情况下,提供初始估计值可以使 qmr 更快地收敛。

返回中间结果

您还可以通过在 for 循环中调用 qmr 来使用初始估计值获得中间结果。每次调用求解器都会执行几次迭代,并存储计算出的解。然后,将该解用作下一批迭代的初始向量。

例如,以下代码会循环执行四次,每次执行 100 次迭代,并在 for 循环中每通过一次后均存储解向量:

x0 = zeros(size(A,2),1);
tol = 1e-8;
maxit = 100;
for k = 1:4
    [x,flag,relres] = qmr(A,b,tol,maxit,[],[],x0);
    X(:,k) = x;
    R(k) = relres;
    x0 = x;
end

X(:,k) 是在 for 循环的第 k 次迭代时计算的解向量,R(k) 是该解的相对残差。

通过为 qmr 提供用来计算 A*xA'*x 的函数句柄(而非系数矩阵 A)来求解线性方程组。

创建一个非对称三对角矩阵。预览该矩阵。

A = gallery('wilk',21) + diag(ones(20,1),1)
A = 21×21

    10     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     1     9     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     1     8     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     1     7     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     1     6     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     1     5     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     1     4     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     1     3     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     1     2     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     0     1     1     2     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
      ⋮

由于此三对角矩阵有特殊的结构,您可以用函数句柄来表示 A*x 运算。由于 A 的每行都乘以 x 中的元素,因此只有少数结果为非零值(对应于三对角线上的非零值)。

表达式 Ax 变为:

Ax=[1020019200120010010200110][x1x2x3x21]=[10x1+2x2x1+9x2+2x3x19+9x20+2x21x20+10x21]

结果向量可以写为三个向量的和:

Ax=[10x1+2x2x1+9x2+2x3x19+9x20+2x21x20+10x21]=[0x1x2x20]+[10x19x29x2010x21]+2[x2x3x210]

同样,ATx 的表达式变为:

ATx=[1010029100210020010100210][x1x2x3x21]=[10x1+x22x1+9x2+x32x19+9x20+x212x20+10x21]

ATx=[10x1+x22x1+9x2+x32x19+9x20+x212x20+10x21]=2[0x1x2x20]+[10x19x29x2010x21]+[x2x3x210]

在 MATLAB® 中,编写一个函数来创建这些向量并将它们相加,从而根据标志输入给出 A*xA'*x 的值:

function y = afun(x,flag)
if strcmp(flag,'notransp') % Compute A*x
    y = [0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + 2*[x(2:end); 0];
elseif strcmp(flag,'transp') % Compute A'*x
    y = 2*[0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + [x(2:end); 0];
end
end

(该函数作为局部函数保存在示例的末尾。)

现在,通过为 qmr 提供用于计算 A*xA'*x 的函数句柄,求解线性方程组 Ax=b。使用容差 1e-6 和 25 次迭代。指定 bA 的行总和,使得 x 的实际解是由 1 组成的向量。

b = full(sum(A,2));
tol = 1e-6;  
maxit = 25;
x1 = qmr(@afun,b,tol,maxit)
qmr converged at iteration 19 to a solution with relative residual 4.7e-07.
x1 = 21×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
      ⋮

局部函数

function y = afun(x,flag)
if strcmp(flag,'notransp') % Compute A*x
    y = [0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + 2*[x(2:end); 0];
elseif strcmp(flag,'transp') % Compute A'*x
    y = 2*[0; x(1:20)] ...
        + [(10:-1:0)'; (1:10)'].*x ...
        + [x(2:end); 0];
end
end

输入参数

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系数矩阵,指定为方阵或函数句柄。该矩阵是线性方程组 A*x = b 中的系数矩阵。通常,A 是大型稀疏矩阵或函数句柄,它返回大型稀疏矩阵和列向量的乘积。

A 指定为函数句柄

您可以将系数矩阵指定为函数句柄而不是矩阵,以节省计算中使用的内存。函数句柄返回矩阵向量乘积,而不是构建整个系数矩阵,从而使计算更加高效。

要使用函数句柄,请使用函数签名 function y = afun(x,opt)参数化函数说明如何在必要时为函数 afun 提供附加参数。函数 afun 必须满足下列条件:

  • afun(x,'notransp') 返回乘积 A*x

  • afun(x,'transp') 返回乘积 A'*x

可接受的函数的一个示例是:

function y = afun(x,opt,B,C,n)
if strcmp(opt,'notransp')
    y = [B*x(n+1:end); C*x(1:n)];
else
    y = [C'*x(n+1:end); B'*x(1:n)];
end
函数 afun 使用 BC 来计算 A*xA'*x(具体取决于指定的标志),而不用真正构建整个稀疏矩阵 A = [zeros(n) B; C zeros(n)]。这种方法可以在计算 A*xA'*x 时充分利用矩阵的稀疏模式来节省内存。

数据类型: double | function_handle
复数支持:

线性方程的右侧,指定为列向量。b 必须为长度等于 size(A,1) 的列向量。

数据类型: double
复数支持:

方法容差,指定为正标量。计算中使用此输入可在准确度和运行时间之间进行权衡。qmr 必须在允许的迭代次数内满足容差才能成功。较小的 tol 值意味着,计算要成功,解必须更精确。

数据类型: double

最大迭代次数,指定为正整数标量。增加 maxit 的值,以允许 qmr 进行更多迭代,从而满足容差 tol。通常,较小的 tol 值意味着需要更多迭代才能成功完成计算。

预条件子矩阵,指定为由矩阵或函数句柄组成的单独参数。您可以指定预条件子矩阵 M 或其矩阵因子 M = M1*M2 来改进线性方程组的数值方面,使 qmr 更容易快速收敛。您可以使用不完全矩阵分解函数 iluichol 来生成预条件子矩阵。您还可以在分解之前使用 equilibrate 来改进系数矩阵的条件数。有关预条件子的详细信息,请参阅线性方程组的迭代方法

qmr 将未指定的预条件子视为单位矩阵。

M 指定为函数句柄

您可以将 MM1M2 中的任一个指定为函数句柄而不是矩阵,以节省计算中使用的内存。函数句柄执行矩阵向量运算,而不是构建整个预条件子矩阵,从而使计算更加高效。

要使用函数句柄,首先创建签名为 function y = mfun(x,opt) 的函数。参数化函数说明如何在必要时为函数 mfun 提供附加参数。函数 mfun 必须满足下列条件:

  • mfun(x,'notransp') 返回 M\xM2\(M1\x) 的值。

  • mfun(x,'transp') 返回 M'\xM1'\(M2'\x) 的值。

可接受的函数的一个示例是:

function y = mfun(x,opt,a,b)  
if strcmp(opt,'notransp')
    y = x.*a;
else
    y = x.*b;
end
end
在此示例中,函数 mfun 使用 ab 来计算 M\x = x*aM'\x = x*b(具体取决于指定的标志),而不用真正建立整个稀疏矩阵 M

数据类型: double | function_handle
复数支持:

初始估计值,指定为长度等于 size(A,2) 的列向量。如果您能为 qmr 提供比默认的零向量更合理的初始估计值 x0,则它可以节省计算时间并帮助算法更快地收敛。

数据类型: double
复数支持:

输出参数

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线性方程组解,以向量形式返回。该输出给出线性方程组 A*x = b 的近似解。如果计算成功 (flag = 0),则 relres 小于或等于 tol

每当计算不成功 (flag ~= 0) 时,qmr 返回的解 x 是在所有迭代中计算出的残差范数最小的解。

收敛标志,返回下表中的标量值之一。收敛标志指示计算是否成功,并区分几种不同形式的失败。

标志值

收敛

0

成功 - qmrmaxit 次迭代内收敛至所需容差 tol

1

失败 - qmr 执行了 maxit 次迭代,但未收敛。

2

失败 - 预条件子矩阵 MM = M1*M2 为病态。

3

失败 - qmr 在经过两次相同的连续迭代后已停滞。

4

失败 - 由 qmr 算法计算的标量数量之一变得太小或太大,无法继续计算。

相对残差,以标量形式返回。相对残差 relres = norm(b-A*x)/norm(b) 指示解的准确度。如果计算在 maxit 次迭代内收敛于容差 tol,则 relres <= tol

数据类型: double

迭代编号,以标量形式返回。此输出指示计算出 x 的解时的迭代次数。

数据类型: double

残差,以向量形式返回。残差 norm(b-A*x) 揭示对于给定的 x 值,算法接近收敛的程度。resvec 中元素的数量等于迭代次数。您可以检查 resvec 的内容,以帮助决定是否更改 tolmaxit 的值。

数据类型: double

详细信息

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拟最小残差法

开发 QMR 算法是为了改进 BiCG。GMRES 对 Krylov 子空间使用正交基并计算最小残差解,而 QMR 使用双正交基,因此只计算拟最小残差解。

QMR 通常比 BiCG 收敛得更平滑,它还使用前瞻性的方法,以保证几乎任何情况下都不出故障。QMR 的计算成本仅略高于 BiCG [1]

提示

  • 大多数迭代方法的收敛取决于系数矩阵的条件数 cond(A)。您可以使用 equilibrate 来改进 A 的条件数,它本身就能使大多数迭代求解器更容易收敛。但如果您随后会对经平衡处理的矩阵 B = R*P*A*C 进行因式分解,使用 equilibrate 还可以获得质量更好的预条件子矩阵。

  • 您可以使用矩阵重新排序函数(如 dissectsymrcm)来置换系数矩阵的行和列,并在系数矩阵被分解以生成预条件子时最小化非零值的数量。这可以减少后续求解预条件线性方程组所需的内存和时间。

参考

[1] Barrett, R., M. Berry, T. F. Chan, et al., Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, SIAM, Philadelphia, 1994.

[2] Freund, Roland W. and Nöel M. Nachtigal, “QMR: A quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems,” SIAM Journal: Numer. Math. 60, 1991, pp. 315–339.

扩展功能

在 R2006a 之前推出