频率响应

频率响应描述系统对变化频率的正弦输入的稳态响应，借助频率响应，控制工程师可在频域中分析和设计控制系统。

我们以原声吉他为例，来理解频域的重要性。如果我们将麦克风放在原声吉他的共鸣板附近，拨动一根琴弦（图 1 左），振动的琴弦将在吉他腔体中引起共振并产生声波，该声波被麦克风捕获。如果查看所捕获信号的时间轨迹（图 1 右），很难一下子理解刚才发生了什么。

如果我们使用频谱分析仪或对时域信号进行快速傅里叶变换 (FFT)，从而在频域中观察这个信号，就能看到在某个频率处有一个振幅峰值（图 2 左）。此峰值频率是构成我们刚才弹奏的音符的基础音调。当我们调整调音器旋钮或将琴弦压到吉他琴颈时，会改变这根琴弦的预紧量或有效长度。这将提高或降低琴弦共振的频率，从而产生不同音符（图 2 右）。通过这一简单的频域分析，我们可以看到吉他（系统）对弹拨（系统输入）的响应。

我们可以用类似的方法观察其他系统对输入或环境激励的响应。我们可以深入了解系统的动态特性，例如谐振峰值频率、直流增益、带宽、相位延迟，以及闭环系统的相位裕度和增益裕度。

获取系统的频率响应

您可以使用 MATLAB^® 和 Simulink^® 获取系统的频率响应，下图有助于您确定具体方法（如灰色框所示）。

1. 如果系统具有传递函数或状态空间模型形式的线性表示，则可以使用以下三种图之一来绘制频率响应：波特图、奈奎斯特图或尼柯尔斯图。波特图将幅值和相位表示为激励信号频率的函数（图 4）。

例如，假设系统 \((H)\) 有如下传递函数表示：

$$H(s) = {s^2+ 0.1s + 7.5\over s^4+0.12s^3+9s^2}.$$

您可以使用以下命令在 MATLAB 中绘制其频率响应：

\(H = {tf([1 \quad 0.1\quad 7.5], [1 \quad 0.12 \quad 9 \quad 0 \quad 0]});\)

\(bode(H)\)

某些情况下，系统可能不具备线性表示。

2. 此时，如果您可以访问物理系统的输入输出测试数据，则可以通过 System Identification Toolbox™ 使用数据驱动的建模方法来识别系统的传递函数、状态空间表示和频率响应模型。
3. 如果您使用 Simulink 对系统动态特性建模，则可以使用 Simulink Control Design™ 中的模型线性化工具来线性化模型，以创建 Simulink 模型的线性状态空间逼近，并绘制频率响应。
4. 如果 Simulink 模型因其不连续性而无法线性化，您可以使用频率响应估计来直接估计频率响应模型。对于因周期激励或自激振荡而产生不连续性的系统（例如电力电子模型），您可以使用 Simulink Control Design 计算周期性稳态工作点。随后，可以围绕这一稳态周期工作点执行频率响应估计，从而尽量缩短所需的仿真时间。

Simulink Control Design 提供两种方法来估计系统的频率响应模型。

离线频率响应估计
模型线性化工具在指定频率下通过输入扰动信号激励系统，并在仿真期间记录模型输出端的响应（图 5）。仿真结束后，对记录的输入和输出信号进行处理，以计算模型的频率响应。

在线频率响应估计
在实时运行期间，使用 Frequency Response Estimator 模块估计物理被控对象的频率响应。该模块在标称工作点向被控对象注入正弦测试信号，并随着输出信号数据的采集持续优化频率响应。

您可以参考下表，对照您在估计的频率范围、准确度和速度方面的要求，选择要注入何种扰动信号。

总的来说，计算系统的频率响应对于控制分析和设计很重要。MATLAB 和 Simulink 提供不同方法来帮助您获得系统的频率响应。要了解有关这些方法的详细信息，请参阅以下示例和参考。