Main Content

本页的翻译已过时。点击此处可查看最新英文版本。

投资组合优化理论

投资组合优化问题

投资组合优化问题包括识别满足以下三个条件的投资组合:

  • 最小化风险代理。

  • 匹配或超过收益代理。

  • 满足基本的可行性要求。

投资组合是构成资产池的资产可行集中的点。投资组合指定了资产池内的每项单独资产的持仓量或权重。一般是按权重指定投资组合,但投资组合优化工具中也可以使用持仓量。

可行投资组合集必须是一个非空、封闭且有界的集合。风险代理是表征与投资组合选择相关联的可变性或损失的函数。收益代理是表征与投资组合选择相关联的总收益或净收益的函数。术语“风险”和“风险代理”以及“收益”和“收益代理”可以通用。Markowitz 的基本见解(请参阅Portfolio Optimization)是,投资组合选择问题的目标是在给定的收益水平下寻求最小的风险,以及在给定的风险水平下寻求最大的收益。满足这些条件的投资组合就是有效的投资组合,这些投资组合的风险与收益图会形成一条曲线,称为有效边界

投资组合问题设定

要设定投资组合优化问题,您需要满足以下条件:

  • 投资组合收益代理 (μ)

  • 投资组合风险代理 (σ)

  • 可行投资组合的集合 (X),称为投资组合集

Financial Toolbox™ 用三个对象来解决特定类型的投资组合优化问题:

  • Portfolio 对象支持均值-方差投资组合优化(请参阅Portfolio Optimization中的 Markowitz [46]、[47])。此对象将投资组合总收益或净收益数据(作为收益代理),将投资组合收益的方差数据(作为风险代理),以及由指定约束的任意组合构成的投资组合集。

  • PortfolioCVaR 对象实现所谓的条件风险值投资组合优化(请参阅Portfolio Optimization中的 Rockafellar 和 Uryasev [48]、[49]),称为 CVaR 投资组合优化。CVaR 投资组合优化与均值-方差投资组合优化使用相同的收益代理和投资组合集,但它使用投资组合收益的条件风险值作为风险代理。

  • PortfolioMAD 对象实现所谓的均值-绝对偏差投资组合优化(请参阅Portfolio Optimization中的 Konno 和 Yamazaki [50]),称为 MAD 投资组合优化。MAD 投资组合优化与均值-方差投资组合优化使用相同的收益代理和投资组合集,但它使用均值-绝对偏差投资组合收益作为风险代理。

收益代理

投资组合收益的代理是在投资组合集 XRn 的函数 μ:XR,该函数表征与投资组合选择相关的收益。通常,投资组合收益的代理有两种一般形式,即投资组合总收益和净收益。两种投资组合收益形式都分离了无风险利率 r0,因此投资组合 xX 只包含风险资产。

对于包含 S 个资产收益 y1,...,yS 的一个集合,不管其底层的资产收益分布如何,其资产收益均值为

m=1Ss=1Sys,

和(样本)资产收益的协方差

C=1S1s=1S(ysm)(ysm)T.

这些矩(或表征这些矩的替代估计量)可以直接用于均值-方差投资组合优化,以形成投资组合风险和收益的代理。

投资组合总收益

xX 的投资组合总收益为

μ(x)=r0+(mr01)Tx,

其中:

r0 是无风险利率(标量)。

m 是资产收益的均值(长度为 n 的向量)。

如果投资组合权重总和为 1,则无风险利率不相关。Portfolio 对象中指定投资组合总收益的属性为:

  • RiskFreeRate 为 r0

  • AssetMean 为 m

净投资组合收益

xX 投资组合的净收益为

μ(x)=r0+(mr01)TxbTmax{0,xx0}sTmax{0,x0x},

其中:

r0 是无风险利率(标量)。

m 是资产收益的均值(长度为 n 的向量)。

b 是购买资产的比例成本(长度为 n 的向量)。

s 是出售资产的比例成本(长度为 n 的向量)。

您也可以在此模型中加入固定交易成本。虽然在这种情况下,仍有必要将价格纳入此类成本。Portfolio 对象中指定投资组合净收益的属性为:

  • RiskFreeRate 为 r0

  • AssetMean 为 m

  • InitPort 为 x0

  • BuyCost 为 b

  • SellCost 为 s

风险代理

投资组合风险的代理是在投资组合集 XRn 上的函数 σ:XR,该函数表征与投资组合选择相关的风险。

方差

投资组合 xX 的投资组合收益的方差为

Variance(x)=xTCx

,其中 C 是资产收益(n × n 正半定矩阵)的协方差。

Portfolio 对象中指定投资组合收益方差的属性为对应于 C 的 AssetCovar

虽然均值-方差投资组合优化中的风险代理是投资组合收益的方差,但通常会报告并显示平方根,即投资组合收益的标准差。此外,此数值通常称为投资组合的“风险”。有关详细信息,请参阅 Markowitz (Portfolio Optimization)。

条件风险值

投资组合 xX 的条件风险值(也称为预期损失值)的定义为

CVaRα(x)=11αf(x,y)VaRα(x)f(x,y)p(y)dy,

,其中:

α 是概率水平,满足 0 < α < 1

f(x,y) 是投资组合 x 和资产收益 y 的损失函数。

p(y) 是资产收益 y 的概率密度函数。

VaRα 是投资组合 x 在概率水平 α 处的风险值。

风险值定义为

VaRα(x)=min{γ:Pr[f(x,Y)γ]α}.

CVaR 的另一种形式是:

CVaRα(x)=VaRα(x)+11αRnmax{0,(f(x,y)VaRα(x))}p(y)dy

概率水平 α 的选择通常为 0.9 或 0.95。选择 α 意味着投资组合 x 的收益低于风险值 VaRα(x) 的概率为 (1 –α)。在给定投资组合 x 的 VaRα(x) 的情况下,投资组合的条件风险值是投资组合超出风险值收益的预期收益损失。

注意

风险值以正值表示损失,因此概率水平 α 表示投资组合收益低于负的风险值的概率。

为了描述收益率的概率分布,PortfolioCVaR 对象接受有限的收益情景样本 ys 作为输入,其中 s = 1,...,S。每个 ys 都是一个长度为 n 的向量,包含情景 s 下 n 个资产中每个资产对应的收益。这一包含 S 个情景的样本存储为大小为 S × n 的情景矩阵。然后,对于给定的投资组合 xXα(0,1),CVaR 投资组合优化的风险代理的计算公式为

CVaRα(x)=VaRα(x)+1(1α)Ss=1Smax{0,ysTxVaRα(x)}

每当估计 CVaR 时,都会估计风险值 VaRα (x)。损失函数是 f(x,ys)=ysTx,即情景 s 下的投资组合损失。

在此定义下,VaR 和 CVaR 是基于给定情景的 VaR 和 CVaR 的样本估计量。情景样本越好,产生的 VaR 和 CVaR 估计值越可靠。

有关详细信息,请参阅Portfolio Optimization中的 Rockafellar 和 Uryasev [48]、[49] 以及 Cornuejols 和 Tütüncü [51]。

均值绝对偏差

xX 投资组合的均值绝对偏差 (MAD) 定义为

MAD(x)=1Ss=1S|(ysm)Tx|

,其中:

ys 是情景 s = 1,...S 的资产收益(包含 S 个长度为 n 的向量的集合)。

f(x,y) 是投资组合 x 和资产收益 y 的损失函数。

m 是资产收益的均值(长度为 n 的向量)。

满足

m=1Ss=1Sys

有关详细信息,请参阅Portfolio Optimization中的 Konno 和 Yamazaki [50]。

另请参阅

相关示例

详细信息

外部网站