chol
乔列斯基分解
语法
说明
[ 使用上述语法中的任何输入参量组合，指定是以矩阵还是向量形式返回置换信息 R,flag,P] = chol(___,outputForm)P。此选项仅可用于稀疏矩阵输入。例如，如果 outputForm 是 'vector' 且 flag = 0，则 S(p,p) = R'*R。outputForm 的默认值是 'matrix'，满足 R'*R = P'*S*P。
示例
使用 chol 分解对称系数矩阵，然后使用乔列斯基因子求解线性系统。
创建在对角线上为正值的对称矩阵。
A = [1 0 1; 0 2 0; 1 0 3]
A = 3×3
1 0 1
0 2 0
1 0 3
计算矩阵的乔列斯基因子。
R = chol(A)
R = 3×3
1.0000 0 1.0000
0 1.4142 0
0 0 1.4142
为方程 的右侧创建一个向量。
b = sum(A,2);
由于 具有乔列斯基分解，该线性方程变为 。使用反斜杠运算符求解 x。
x = R\(R'\b)
x = 3×1
1.0000
1.0000
1.0000
计算矩阵的上下乔列斯基分解，并验证结果。
使用 gallery 函数创建一个 6×6 对称正定测试矩阵。
A = gallery('lehmer',6);使用 A 的上三角计算乔列斯基因子。
R = chol(A)
R = 6×6
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0 0.8660 0.5774 0.4330 0.3464 0.2887
0 0 0.7454 0.5590 0.4472 0.3727
0 0 0 0.6614 0.5292 0.4410
0 0 0 0 0.6000 0.5000
0 0 0 0 0 0.5528
验证上三角因子满足 R'*R - A = 0（在舍入误差内）。
norm(R'*R - A)
ans = 2.5801e-16
现在，指定 'lower' 选项以使用 A 的下三角形计算乔列斯基因子。
L = chol(A,'lower')L = 6×6
1.0000 0 0 0 0 0
0.5000 0.8660 0 0 0 0
0.3333 0.5774 0.7454 0 0 0
0.2500 0.4330 0.5590 0.6614 0 0
0.2000 0.3464 0.4472 0.5292 0.6000 0
0.1667 0.2887 0.3727 0.4410 0.5000 0.5528
验证下三角因子满足 L*L' - A = 0（在舍入误差内）。
norm(L*L' - A)
ans = 2.5801e-16
当输入矩阵不是对称正定矩阵时，使用带两个输出的 chol 来隐藏错误。
创建一个 5×5 二项式系数矩阵。此矩阵是对称正定矩阵，因此我们从最后一个元素中减去 1 以使它不再是正定矩阵。
A = pascal(5); A(end) = A(end) - 1
A = 5×5
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 69
计算 A 的乔列斯基因子。如果 A 不是对称正定矩阵，请指定两个输出以避免生成错误。
[R,flag] = chol(A)
R = 4×4
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 1
flag = 5
由于 flag 为非零，因此它给出了分解失败所在位置的主元索引。chol 能够正确计算 q = flag-1 = 4 个行和列，然后在遇到矩阵中发生了变化的部分时失败。
验证 R'*R 返回的四行四列与 A(1:q,1:q) 一致。
q = flag-1; R'*R
ans = 4×4
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
A(1:q,1:q)
ans = 4×4
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
计算稀疏矩阵的乔列斯基因子，并使用置换输出创建具有较少非零元素的乔列斯基因子。
基于 west0479 矩阵创建一个稀疏正定矩阵。
load west0479
A = west0479;
S = A'*A;用两种不同方法计算矩阵的乔列斯基因子。首先指定两个输出，然后指定三个输出以支持行和列重新排序。
[R,flag] = chol(S); [RP,flagP,P] = chol(S);
对于每次计算，都检查 flag = 0 以确认计算成功。
if ~flag && ~flagP disp('Factorizations successful.') else disp('Factorizations failed.') end
Factorizations successful.
比较 chol(S) 和经过重新排序的矩阵 chol(P'*S*P) 中非零元素的个数。最佳做法是对稀疏矩阵使用 chol 的带三个输出的语法，因为对行和列重新排序会大大减少乔列斯基因子中的非零元素个数。
subplot(1,2,1) spy(R) title('Nonzeros in chol(S)') subplot(1,2,2) spy(RP) title('Nonzeros in chol(P''*S*P)')
使用 chol 的 'vector' 选项以向量而不是矩阵形式返回置换信息。
创建一个稀疏有限元矩阵。
S = gallery('wathen',10,10);
spy(S)
计算矩阵的乔列斯基因子，并指定 'vector' 选项以返回置换向量 p。
[R,flag,p] = chol(S,'vector');验证 flag = 0，表明计算成功。
if ~flag disp('Factorization successful.') else disp('Factorization failed.') end
Factorization successful.
验证 S(p,p) = R'*R（在舍入误差内）。
norm(S(p,p) - R'*R,'fro')ans = 2.1039e-13
输入参数
输出参量
详细信息
提示
使用
chol（而不是eig）可有效地判断矩阵是否为对称正定矩阵。有关详细信息，请参阅 判断矩阵是否为对称正定矩阵。
参考
[1] Anderson, E., ed. LAPACK Users’ Guide. 3rd ed. Software, Environments, Tools. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. https://doi.org/10.1137/1.9780898719604.
[2] Chen, Yanqing, Timothy A. Davis, William W. Hager, and Sivasankaran Rajamanickam. “Algorithm 887: CHOLMOD, Supernodal Sparse Cholesky Factorization and Update/Downdate.” ACM Transactions on Mathematical Software 35, no. 3 (October 2008): 1–14. https://doi.org/10.1145/1391989.1391995.
