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interp1

一维数据插值(表查找)

说明

示例

vq = interp1(x,v,xq) 使用线性插值返回一维函数在特定查询点的插入值。向量 x 包含样本点,v 包含对应值 v(x)。向量 xq 包含查询点的坐标。

如果您有多个在同一点坐标采样的数据集,则可以将 v 以数组的形式进行传递。数组 v 的每一列都包含一组不同的一维样本值。

示例

vq = interp1(x,v,xq,method) 指定备选插值方法:'linear''nearest''next''previous''pchip''cubic''v5cubic''makima''spline'。默认方法为 'linear'

示例

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation) 用于指定外插策略,来计算落在 x 域范围外的点。如果希望使用 method 算法进行外插,可将 extrapolation 设置为 'extrap'。您也可以指定一个标量值,这种情况下,interp1 将为所有落在 x 域范围外的点返回该标量值。

示例

vq = interp1(v,xq) 返回插入的值,并假定一个样本点坐标默认集。默认点是从 1n 的数字序列,其中 n 取决于 v 的形状:

  • 当 v 是向量时,默认点是 1:length(v)

  • 当 v 是数组时,默认点是 1:size(v,1)

如果您不在意点之间的绝对距离,则可使用此语法。

vq = interp1(v,xq,method) 指定备选插值方法中的任意一种,并使用默认样本点。

vq = interp1(v,xq,method,extrapolation) 指定外插策略,并使用默认样本点。

pp = interp1(x,v,method,'pp') 使用 method 算法返回分段多项式形式的 v(x)。

注意

不建议使用该语法。请改用 griddedInterpolant

示例

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定义样本点 x 及其对应样本值 v

x = 0:pi/4:2*pi; 
v = sin(x);

将查询点定义为 x 范围内更精细的采样点。

xq = 0:pi/16:2*pi;

在查询点插入函数并绘制结果。

figure
vq1 = interp1(x,v,xq);
plot(x,v,'o',xq,vq1,':.');
xlim([0 2*pi]);
title('(Default) Linear Interpolation');

现在使用 'spline' 方法计算相同点处的 v

figure
vq2 = interp1(x,v,xq,'spline');
plot(x,v,'o',xq,vq2,':.');
xlim([0 2*pi]);
title('Spline Interpolation');

定义一组函数值。

v = [0  1.41  2  1.41  0  -1.41  -2  -1.41 0];

定义一组介于默认点 1:9 之间的查询点。在这种情况下,默认点为 1:9,因为 v 包含 9 个值。

xq = 1.5:8.5;

计算 xq 处的 v

vq = interp1(v,xq);

绘制结果。

figure
plot((1:9),v,'o',xq,vq,'*');
legend('v','vq');

定义一组样本点。

x = 1:10;

定义函数 v(x)=5x+x2i 在样本点处的值。

v = (5*x)+(x.^2*1i);

将查询点定义为 x 范围内更精细的采样点。

xq = 1:0.25:10;

在查询点处进行 v 插值。

vq = interp1(x,v,xq);

用红色绘制结果的实部,用蓝色绘制虚部。

figure
plot(x,real(v),'*r',xq,real(vq),'-r');
hold on
plot(x,imag(v),'*b',xq,imag(vq),'-b');

对时间戳数据点进行插值。

以包含温度读数的数据集为例,这些读数每四个小时测量一次。创建包含一天的数据的表,并绘制数据图。

x = (datetime(2016,1,1):hours(4):datetime(2016,1,2))';
x.Format = 'MMM dd, HH:mm';
T = [31 25 24 41 43 33 31]';
WeatherData = table(x,T,'VariableNames',{'Time','Temperature'})
WeatherData=7×2 table
        Time         Temperature
    _____________    ___________

    Jan 01, 00:00        31     
    Jan 01, 04:00        25     
    Jan 01, 08:00        24     
    Jan 01, 12:00        41     
    Jan 01, 16:00        43     
    Jan 01, 20:00        33     
    Jan 02, 00:00        31     

plot(WeatherData.Time, WeatherData.Temperature, 'o')

插入数据集以预测一天中每一分钟内的温度读数。由于数据是周期性的,因此请使用 'spline' 插值方法。

xq = (datetime(2016,1,1):minutes(1):datetime(2016,1,2))';
V = interp1(WeatherData.Time, WeatherData.Temperature, xq, 'spline');

绘制插入的点。

hold on
plot(xq,V,'r')

定义样本点 x 及其对应样本值 v

x = [1 2 3 4 5];
v = [12 16 31 10 6];

指定查询点 xq,这些查询点延伸到 x 的定义域以外。

xq = [0 0.5 1.5 5.5 6];

使用 'pchip' 方法计算 xq 处的 v

vq1 = interp1(x,v,xq,'pchip')
vq1 = 1×5

   19.3684   13.6316   13.2105    7.4800   12.5600

接着,使用 'linear' 方法计算 xq 处的 v

vq2 = interp1(x,v,xq,'linear')
vq2 = 1×5

   NaN   NaN    14   NaN   NaN

现在将 'linear' 方法与 'extrap' 选项结合使用。

vq3 = interp1(x,v,xq,'linear','extrap')
vq3 = 1×5

     8    10    14     4     2

'pchip' 默认外插,但 'linear' 不会。

定义样本点 x 及其对应样本值 v

x = [-3 -2 -1 0 1 2 3];
v = 3*x.^2;

指定查询点 xq,这些查询点延伸到 x 的定义域以外。

xq = [-4 -2.5 -0.5 0.5 2.5 4];

现在使用 'pchip' 方法计算 xq 处的 v,并为 x 域范围外的所有查询点赋予值 27

vq = interp1(x,v,xq,'pchip',27)
vq = 1×6

   27.0000   18.6562    0.9375    0.9375   18.6562   27.0000

定义样本点。

x = (-5:5)';

x 所定义的点处对三个不同的抛物线函数采样。

v1 = x.^2;
v2 = 2*x.^2 + 2;
v3 = 3*x.^2 + 4;

创建矩阵 v,其列为向量 v1v2v3

v = [v1 v2 v3];

将一组查询点 xq 定义为 x 范围内更精细的采样点。

xq = -5:0.1:5;

计算 xq 处的全部三个函数,并绘制结果。

vq = interp1(x,v,xq,'pchip');
figure
plot(x,v,'o',xq,vq);

h = gca;
h.XTick = -5:5;

绘图中的圆圈表示 v,实线表示 vq

输入参数

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样本点,指定为一行或一列实数向量。x 中的值必须各不相同。x 的长度必须符合以下要求之一:

  • 如果 v 为向量,则 length(x) 必须等于 length(v)

  • 如果 v 为数组,则 length(x) 必须等于 size(v,1)

示例: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

示例: 1:10

示例: [3 7 11 15 19 23 27 31]'

数据类型: single | double | duration | datetime

样本值,指定为实数/复数向量、矩阵或数组。如果 v 是矩阵或数组,则每列包含单独的一组一维值。

如果 v 包含复数,则 interp1 将分别插入实部和虚部。

示例: rand(1,10)

示例: rand(10,1)

示例: rand(10,3)

数据类型: single | double | duration | datetime
复数支持:

查询点,指定为实数标量、向量、矩阵或数组。

示例: 5

示例: 1:0.05:10

示例: (1:0.05:10)'

示例: [0 1 2 7.5 10]

数据类型: single | double | duration | datetime

插值方法,指定为下表中的选项之一。

方法

说明

连续性

注释

'linear'

线性插值。在查询点插入的值基于各维中邻点网格点处数值的线性插值。这是默认插值方法。

C0

  • 需要至少 2 个点。

  • 比最近邻点插值需要更多内存和计算时间。

'nearest'

最近邻点插值。在查询点插入的值是距样本网格点最近的值。

不连续

  • 需要至少 2 个点。

  • 最低内存要求

  • 最快计算时间

'next'

下一个邻点插值。在查询点插入的值是下一个抽样网格点的值。

不连续

  • 需要至少 2 个点。

  • 内存要求和计算时间与 'nearest' 相同

'previous'

上一个邻点插值。在查询点插入的值是上一个抽样网格点的值。

不连续

  • 需要至少 2 个点。

  • 内存要求和计算时间与 'nearest' 相同

'pchip'

保形分段三次插值。在查询点插入的值基于邻点网格点处数值的保形分段三次插值。

C1

  • 需要至少 4 个点。

  • 'linear' 需要更多内存和计算时间

'cubic'

注意

interp1(...,'cubic') 的行为在以后的版本中会有所变化。在以后的版本中,此方法将执行三次卷积。

'pchip' 相同。

C1

此方法目前返回与 'pchip' 相同的结果。

'v5cubic'

用于 MATLAB® 5 的三次卷积。

C1

点之间的间距必须均匀。'cubic' 将在以后的版本中替代 'v5cubic'

'makima'

修正 Akima 三次 Hermite 插值。在查询点插入的值基于次数最大为 3 的多项式的分段函数。为防过冲,已修正 Akima 公式。

C1

  • 需要至少 2 个点。

  • 产生的波动比 'spline' 小,但不像 'pchip' 那样急剧变平

  • 计算成本高于 'pchip',但通常低于 'spline'

  • 内存要求与 'spline' 类似

'spline'

使用非结终止条件的样条插值。在查询点插入的值基于各维中邻点网格点处数值的三次插值。

C2

  • 需要至少 4 个点。

  • 'pchip' 需要更多内存和计算时间

外插策略,指定为 'extrap' 或实数标量值。

  • 如果希望 interp1 使用与内插所用相同的方法来计算落在域范围外的点,则指定 'extrap'

  • 如果希望 interp1 为落在域范围外的点返回一个特定常量值,则指定一个标量值。

默认行为取决于输入参数:

  • 如果您指定 'pchip''spline''makima' 插值方法,则默认行为是 'extrap'

  • 任何其他方法都会为落在域范围外的查询点默认返回 NaN

示例: 'extrap'

示例: 5

数据类型: char | string | single | double

输出参数

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插入的值,以标量、向量、矩阵或数组的形式返回。vq 的大小取决于 vxq 的形状。

v 的形状xq 的形状Vq 的大小示例
向量向量size(xq)如果 size(v) = [1 100]
size(xq) = [1 500]
size(vq) = [1 500]
向量矩阵
或 N 维数组
size(xq)如果 size(v) = [1 100]
size(xq) = [50 30]
size(vq) = [50 30]
矩阵
或 N 维数组
向量[length(xq) size(v,2),...,size(v,n)]如果 size(v) = [100 3]
size(xq) = [1 500]
size(vq) = [500 3]
矩阵
或 N 维数组
矩阵
或 N 维数组
[size(xq,1),...,size(xq,n),... size(v,2),...,size(v,m)]如果 size(v) = [4 5 6]
size(xq) = [2 3 7]
size(vq) = [2 3 7 5 6]

分段多项式,以可传递到 ppval 函数进行计算的结构体的形式返回。

详细信息

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Akima 和样条插值

[1][2] 中所述的一维插值 Akima 算法执行三次插值以生成具有连续一阶导数 (C1) 的分段多项式。该算法保持斜率,避免平台区的波动。每当有三个或更多连续共线点时,就会出现平台区,算法将这些点用一条直线相连。为了确保两个数据点之间的区域是平坦的,请在这两个点之间插入一个额外的数据点。

当两个具有不同斜率的平台区相遇时,对原始 Akima 算法所做的修改会对斜率更接近于零的一侧赋予更多权重。此修改优先考虑更接近水平的一侧,这样更直观并可避免过冲。(原始 Akima 算法对两边的点赋予相等的权重,从而均匀地划分波动。)

另一方面,样条算法执行三次插值以产生具有连续二阶导数 (C2) 的分段多项式。结果相当于常规多项式插值,但不太容易受到高次数据点之间剧烈振荡的影响。但这种方法仍容易受到数据点之间的过冲和振荡的影响。

与样条算法相比,Akima 算法产生的波动较少,更适合处理平台区之间的快速变化。下面使用连接多个平台区的测试数据来说明这种差异。

参考

[1] Akima, Hiroshi. "A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures." Journal of the ACM (JACM) , 17.4, 1970, pp. 589-602.

[2] Akima, Hiroshi. "A method of bivariate interpolation and smooth surface fitting based on local procedures." Communications of the ACM , 17.1, 1974, pp. 18-20.

扩展功能

在 R2006a 之前推出