$\begin{array}{l} a = 0 i_{}^{ˆ} + 3 j_{}^{ˆ} \\ b = - 2 i_{}^{ˆ} + 1 j_{}^{ˆ} \\ \begin{aligned} d_{(a, b)} & = | | b - a | | \\ = \sqrt{(- 2 - 0)^{2} + (1 - 3)^{2}} \\ = \sqrt{8} \end{aligned} \end{array}$

矩阵的 2-范数

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计算矩阵的 2-范数，该范数为最大奇异值。

X = [2 0 1;-1 1 0;-3 3 0];
n = norm(X)

n = 
4.7234

N 维数组的 Frobenius 范数

打开实时脚本

计算一个 4 维数组 X 的 Frobenius 范数，它等效于列向量 X(:) 的 2-范数。

X = rand(3,4,4,3);
n = norm(X,"fro")

n = 
7.1247

Frobenius 范数对于稀疏矩阵也很有用，因为 norm(X,2) 不支持稀疏 X。

输入参数

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`v` — 输入向量
向量

输入向量。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`X` — 输入数组
矩阵 | 数组

输入数组，指定为矩阵或数组。对于大多数范数类型，X 必须为矩阵。但是，对于 Frobenius 范数计算，X 可以是数组。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`p` — 范数类型
2 (默认) | 正实数标量 | `Inf` | `-Inf`

范数类型，指定为 2（默认值）、正实数标量、Inf 或 -Inf。p 的有效值及其返回的内容取决于 norm 的第一个输入为矩阵还是向量，如表中所示。

注意

此表并未反映计算所用的实际算法。

p	矩阵	向量
`1`	`max(sum(abs(X)))`	`sum(abs(v))`
`2`	`max(svd(X))`	`sum(abs(v).^2)^(1/2)`
正实数值标量	—	`sum(abs(v).^p)^(1/p)`
`Inf`	`max(sum(abs(X')))`	`max(abs(v))`
`-Inf`	—	`min(abs(v))`

输出参量

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`n` — 范数值
标量

范数值，以标量形式返回。范数为元素模的测度。按照惯例：

如果输入包含 NaN 值，norm 将返回 NaN。
空矩阵的范数为零。

详细信息

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欧几里德范数

具有 N 个元素的向量 v 的欧几里德范数（也称为向量模、欧几里德长度或 2-范数）的定义如下：

$‖ v ‖ = \sqrt{\sum_{k = 1}^{N} {| v_{k} |}^{2}} .$

常规向量范数

具有 N 个元素的向量 v 的 p-范数的常规定义是

${‖ v ‖}_{p} = {[\sum_{k = 1}^{N} {| v_{k} |}^{p}]}^{1 / p},$

，其中 p 是任何正的实数值、Inf 或 -Inf。

如果 p = 1，则所得的 1-范数是向量元素的绝对值之和。
如果 p = 2，则所得的 2-范数是向量的模或欧几里德长度。
如果 p = Inf，则 ${‖ v ‖}_{\infty} = \max_{i} (| v (i) |)$ 。
如果 p = -Inf，则 ${‖ v ‖}_{- \infty} = \min_{i} (| v (i) |)$ 。

最大绝对列之和

m×n 矩阵 X (m,n >= 2) 的最大绝对列之和由

${‖ X ‖}_{1} = \max_{1 \leq j \leq n} (\sum_{i = 1}^{m} | a_{i j} |) .$

定义

最大绝对行之和

m×n 矩阵 X (m,n >= 2) 的最大绝对行之和由

${‖ X ‖}_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq m} (\sum_{j = 1}^{n} | a_{i j} |) .$

定义

Frobenius 范数

m×n 矩阵 X (m,n >= 2) 的 Frobenius 范数由

${‖ X ‖}_{F} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} {| a_{i j} |}^{2}} = \sqrt{trace (X^{†} X)} .$

定义

此定义自然也适合扩展到二维以上的数组。例如，如果 X 是 N 维数组，大小为 m×n×p×...×q，则 Frobenius 范数为

${‖ X ‖}_{F} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{p} ... \sum_{w = 1}^{q} {| a_{i j k ... w} |}^{2}} .$

提示

使用 vecnorm 将矩阵或数组视为向量的集合并计算指定维度上的范数。例如，vecnorm 可以计算矩阵中每列的范数。

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

norm 函数完全支持 tall 数组。有关详细信息，请参阅 tall 数组。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

norm 函数完全支持 GPU 数组。要在 GPU 上运行该函数，请将输入数据指定为 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)。有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

此函数完全支持分布式数组。有关详细信息，请参阅使用分布式数组运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

全部展开

R2025a: 代码生成支持

您可以为此函数生成 C/C++ 代码。

R2022a: Frobenius 范数支持 N 维数组

形式为 norm(X,"fro") 的范数计算支持 N 维数组作为输入。

另请参阅

外部网站

应用线性代数（MathWorks 教学资源）

norm

语法

说明

示例

向量模

向量的 1-范数

两个点之间的欧几里德距离

矩阵的 2-范数

N 维数组的 Frobenius 范数

输入参数

v — 输入向量 向量

X — 输入数组 矩阵 | 数组

p — 范数类型 2 (默认) | 正实数标量 | Inf | -Inf

输出参量

n — 范数值 标量

详细信息

欧几里德范数

常规向量范数

最大绝对列之和

最大绝对行之和

Frobenius 范数

提示

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

R2025a: 代码生成支持

R2022a: Frobenius 范数支持 N 维数组

另请参阅

外部网站

`v` — 输入向量
向量

`X` — 输入数组
矩阵 | 数组

`p` — 范数类型
2 (默认) | 正实数标量 | `Inf` | `-Inf`

`n` — 范数值
标量

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。