polyval

多项式计算

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语法

y = polyval(p,x)

[y,delta] = polyval(p,x,S)

y = polyval(p,x,[],mu)

[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)

说明

y = polyval(p,x) 计算多项式 p 在 x 的每个点处的值。参量 p 是长度为 n+1 的向量，其元素是 n 次多项式的系数（降幂排序）：

$p (x) = p_{1} x^{n} + p_{2} x^{n - 1} + ... + p_{n} x + p_{n + 1} .$

虽然可以为不同目的使用 polyint、polyder 和 polyfit 等函数计算 p 中的多项式系数，但您也可以为系数指定任何向量。

要以矩阵方式计算多项式，请改用 polyvalm。

示例

[y,delta] = polyval(p,x,S) 使用 polyfit 生成的可选输出结构体 S 来生成误差估计值。delta 是使用 p(x) 预测 x 处的未来观测值时的标准误差估计值。

示例

y = polyval(p,x,[],mu) 或 [y,delta] = polyval(p,x,S,mu) 使用 polyfit 生成的可选输出 mu 来中心化和缩放数据。mu(1) 为 mean(x)，mu(2) 为 std(x)。使用这些值时，polyval 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差

$\hat{x} = \frac{x - \bar{x}}{σ_{x}} .$

这种中心化和缩放变换可改善多项式的数值属性。

示例

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计算几个点处的多项式值

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计算多项式 $p (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$ 在点 $x = 5, 7, 9$ 处的值。多项式系数可以由向量 [3 2 1] 表示。

p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)

y = 1×3

    86   162   262

对四次多项式求积分

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计算定积分

$I = \int_{- 1}^{3} (3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 x - 25) d x .$

创建一个向量来表示多项式被积函数 $3 x^{4} - 4 x^{2} + 10 x - 25$ 。 $x^{3}$ 项不存在，因此系数为 0。

p = [3 0 -4 10 -25];

使用 polyint 和等于 0 的积分常量来对多项式求积分。

q = polyint(p)

q = 1×6

    0.6000         0   -1.3333    5.0000  -25.0000         0

通过在积分范围上计算 q，求解积分的值。

a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))

I = 
49.0667

具有误差估计值的线性回归

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将一个线性模型拟合到一组数据点并绘制结果，其中包含预测区间为 95% 的估计值。

创建几个由样本数据点 (x,y) 组成的向量。使用 polyfit 对数据进行一次多项式拟合。指定两个输出以返回线性拟合的系数以及误差估计结构体。

x = 1:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,100); 
[p,S] = polyfit(x,y,1)

p = 1×2

   -0.3142    0.9614

S = struct with fields:
           R: [2×2 double]
          df: 98
       normr: 22.7673
    rsquared: 0.9407

计算以 p 为系数的一次多项式在 x 中各点处的拟合值。将误差估计结构体指定为第三个输入，以便 polyval 计算标准误差的估计值。标准误差估计值在 delta 中返回。

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

绘制原始数据、线性拟合和 95% 预测区间 $y \pm 2 Δ$ 。

plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')

Figure contains an axes object. The axes object with title Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval contains 4 objects of type line. One or more of the lines displays its values using only markers These objects represent Data, Linear Fit, 95% Prediction Interval.

使用中心化和缩放改善数值属性

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创建一个由 1750 - 2000 年的人口数据组成的表，并绘制数据点。

year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)

T=11×2 table
    year       pop   
    ____    _________

    1750     7.91e+08
    1775     8.56e+08
    1800     9.78e+08
    1825     1.05e+09
    1850    1.262e+09
    1875    1.544e+09
    1900     1.65e+09
    1925    2.532e+09
    1950    6.122e+09
    1975     8.17e+09
    2000    1.156e+10

plot(year,pop,'o')

Figure contains an axes object. The axes contains a line object which displays its values using only markers.

使用带三个输入的 polyfit 拟合一个使用中心化和缩放的 5 次多项式，这将改善问题的数值属性。polyfit 将 year 中的数据以 0 为进行中心化，并缩放为具有标准差 1，这可避免在拟合计算中出现病态的范德蒙矩阵。

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

使用带四个输入的 polyval，根据缩放后的年份 (year-mu(1))/mu(2) 计算 p。绘制结果对原始年份的图。

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type line. One or more of the lines displays its values using only markers

输入参数

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`p` — 多项式系数
向量

多项式系数，指定为向量。例如，向量 [1 0 1] 表示多项式 $x^{2} + 1$ ，向量 [3.13 -2.21 5.99] 表示多项式 $3.13 x^{2} - 2.21 x + 5.99$ 。

有关详细信息，请参阅创建并计算多项式。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`x` — 查询点
向量

查询点，指定为向量。polyval 计算多项式 p 在 x 中的点处的值，并在 y 中返回对应的函数值。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`S` — 误差估计结构体
结构体

误差估计结构体。此结构体是语法 [p,S] = polyfit(x,y,n) 中的第二个输出。指定 S 作为 polyval 的输入以获得误差估计值。S 包含下表中的字段。

字段	描述
`R`	范德蒙矩阵 `x` 的 QR 分解的三角 `R` 因子（可能经过置换）
`df`	自由度
`normr`	残差的范数
`rsquared`	决定系数，即（未经调整的）R 方

如果 y 中的数据是随机的，则 p 的估计协方差矩阵是 (Rinv*Rinv')*normr^2/df，其中 Rinv 是 R 的逆矩阵。

`mu` — 中心化值和缩放值
二元素向量

中心化和缩放值，指定为二元素向量。此向量是 [p,S,mu] = polyfit(x,y,n) 的可选输出，用于改善拟合和计算多项式 p 的数值属性。值 mu(1) 为 mean(x)，mu(2) 为 std(x)。这些值用于以单位标准差将 x 中的查询点的中心置于零值处。

指定 mu 以计算 p 在缩放点 (x - mu(1))/mu(2) 处的值。

输出参量

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`y` — 函数值
向量

函数值，以大小与查询点 x 相同的向量形式返回。向量包含在 x 中的每个点处计算多项式 p 所得的结果。

`delta` — 预测的标准误差
向量

预测的标准误差，以大小与查询点 x 相同的向量形式返回。通常，区间 y ± Δ 对应于大型样本的未来观测值约 68% 的预测区间，y ± 2Δ 对应于约 95% 的预测区间。

如果 p 中的系数是 polyfit 计算的最小二乘估计值，polyfit 数据输入中的误差呈独立正态分布，并拥有常量方差，则 y ± Δ 对应于至少 50% 的预测区间。

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

polyval 函数支持 tall 数组，但存在以下使用说明和限制：

如果 x 为 tall 数组，则它必须为列向量。

有关详细信息，请参阅 tall 数组。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

polyval 函数完全支持 GPU 数组。要在 GPU 上运行该函数，请将输入数据指定为 gpuArray (Parallel Computing Toolbox)。有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

此函数完全支持分布式数组。有关详细信息，请参阅使用分布式数组运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

polyfit | polyvalm | polyder | polyint

polyval

语法

说明

示例

计算几个点处的多项式值

对四次多项式求积分

具有误差估计值的线性回归

使用中心化和缩放改善数值属性

输入参数

p — 多项式系数 向量

x — 查询点 向量

S — 误差估计结构体 结构体

mu — 中心化值和缩放值 二元素向量

输出参量

y — 函数值 向量

delta — 预测的标准误差 向量

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

另请参阅

主题

`p` — 多项式系数
向量

`x` — 查询点
向量

`S` — 误差估计结构体
结构体

`mu` — 中心化值和缩放值
二元素向量

`y` — 函数值
向量

`delta` — 预测的标准误差
向量

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。