检查条件设置错误的矩阵的敏感度。

条件设置错误的典型对称正定矩阵是 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵的元素数是 $$H(i,j)=1/(i+j-1)$$。

创建一个 10×10 Hilbert 矩阵。

A = hilb(10);

求解该矩阵的条件数倒数。

C = rcond(A)

C = 2.8286e-14

条件数倒数很小，因此 A 的条件设置错误。

A 的条件对类似线性方程组的解有影响。要了解这一点，请将 $$Ax=b$$ 的解与扰动方程组 $$Ax=b+0.01$$ 的解进行比较。

创建一个由 1 组成的列向量并求解 $$Ax=b$$。

b = ones(10,1);
x = A\b;

现在将 $$b$$ 改变 0.01 并求解扰动方程组。

b1 = b + 0.01;
x1 = A\b1;

比较这两个解 x 和 x1。

norm(x-x1)

ans = 1.1250e+05

因为 A 的条件设置错误，所以 b 的细微变化会使 x = A\b 的解出现较大变化（1e5 的量级）。该方程组对扰动敏感。

了解为何条件数倒数是一个比行列式更精确的奇异性度量。

创建一个 5×5 单位矩阵的倍数。

A = eye(5)*0.01;

该矩阵是满秩的且具有五个相等奇异值，可通过计算 svd(A) 来确认这一点。

计算 A 的行列式。

det(A)

ans = 1.0000e-10

尽管该矩阵的行列式接近零，但实际上 A 的条件设置非常良好且不接近奇异矩阵。

计算 A 的条件数倒数。

rcond(A)

ans = 1

该矩阵的条件数倒数为 1，因此条件设置非常良好。使用 rcond(A) 或 cond(A) 而非 det(A) 确认矩阵的奇异性。