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rcond

条件数倒数

说明

示例

C = rcond(A) 返回 A 的 1-范数条件数倒数估计值。如果 A 的条件设置良好,rcond(A) 接近 1.0。如果 A 的条件设置错误,rcond(A) 接近 0。

示例

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检查条件设置错误的矩阵的敏感度。

条件设置错误的典型对称正定矩阵是 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵的元素数是 H(i,j)=1/(i+j-1)

创建一个 10×10 Hilbert 矩阵。

A = hilb(10);

求解该矩阵的条件数倒数。

C = rcond(A)
C = 2.8286e-14

条件数倒数很小,因此 A 的条件设置错误。

A 的条件对类似线性方程组的解有影响。要了解这一点,请将 Ax=b 的解与扰动方程组 Ax=b+0.01 的解进行比较。

创建一个由 1 组成的列向量并求解 Ax=b

b = ones(10,1);
x = A\b;

现在将 b 改变 0.01 并求解扰动方程组。

b1 = b + 0.01;
x1 = A\b1;

比较这两个解 xx1

norm(x-x1)
ans = 1.1250e+05

因为 A 的条件设置错误,所以 b 的细微变化会使 x = A\b 的解出现较大变化(1e5 的量级)。该方程组对扰动敏感。

了解为何条件数倒数是一个比行列式更精确的奇异性度量。

创建一个 5×5 单位矩阵的倍数。

A = eye(5)*0.01;

该矩阵是满秩的且具有五个相等奇异值,可通过计算 svd(A) 来确认这一点。

计算 A 的行列式。

det(A)
ans = 1.0000e-10

尽管该矩阵的行列式接近零,但实际上 A 的条件设置非常良好且接近奇异矩阵。

计算 A 的条件数倒数。

rcond(A)
ans = 1

该矩阵的条件数倒数为 1,因此条件设置非常良好。使用 rcond(A)cond(A) 而非 det(A) 确认矩阵的奇异性。

输入参数

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输入矩阵,指定为数值方阵。

数据类型: single | double

输出参数

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条件数倒数,以标量形式返回。CA 具有相同的数据类型。

条件数倒数是一个标度不变的度量,用于衡量给定矩阵与奇异矩阵集的接近程度。

  • 如果 C 接近 0,则该矩阵接近奇异且条件设置错误。

  • 如果 C 接近 1.0,则该矩阵的条件设置良好。

提示

  • 与条件数 cond 相比,rcond 作为估计矩阵条件的方法更有效,但不太稳定。

扩展功能

另请参阅

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在 R2006a 之前推出