heston

Heston 模型

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说明

创建并显示一个 heston 对象，该对象派生自 sdeddo（来自漂移和扩散对象的 SDE）。

使用 heston 对象模拟两个状态变量的样本路径。每个状态变量均由 NPeriods 个连续观测周期内的单个布朗运动风险源驱动，以便逼近连续时间随机波动率过程。

赫斯顿模型是二元复合模型。每个赫斯顿模型都由两个耦合的一元模型组成：

一个使用随机波动率函数的几何布朗运动 (gbm) 模型。
$d X_{1 t} = B (t) X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t}$
此模型通常对应于价格过程，该价格过程的波动率（方差率）由第二个一元模型控制。
一个考克斯-英格索尔-罗斯 (cir) 平方根扩散模型。
$d X_{2 t} = S (t) [L (t) - X_{2 t}] d t + V (t) \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t}$
此模型描述耦合 GBM 价格过程的方差率的演变。

创建对象

语法

heston = heston(Return,Speed,Level,Volatility)

heston = heston(___,Name,Value)

描述

heston = heston(Return,Speed,Level,Volatility) 创建一个默认的 heston 对象。

将所需的输入参数指定为以下类型之一：

MATLAB^® 数组。指定数组表示静态（非时变）参数设定。此数组完全捕获与参数形式明显相关的所有实现细节。
MATLAB 函数。指定函数可为几乎任何静态、动态、线性或非线性模型提供间接支持。此参数通过接口支持，因为所有实现细节都隐藏并被函数完全封装。

注意

您可以根据需要指定数组和函数输入参数的组合。

此外，如果函数接受标量时间 t 作为其唯一输入参量，则将参数识别为时间的确定性函数。否则，系统将假定参数为时间 t 和状态 X(t) 的函数，并使用两个输入参量调用。

示例

heston = heston(___,Name,Value) 使用由一个或多个 Name,Value 对组参量指定的其他选项构造一个 heston 对象。

Name 是属性名称，Value 是其对应的值。Name 必须放在单引号 ('') 内。您可以按任意顺序指定多个名称-值对组参量，如 Name1,Value1,…,NameN,ValueN

heston 对象具有以下属性：

StartTime - 初始观测时间
StartState - StartTime 时的初始状态
Correlation - Correlation 输入的访问函数，可作为时间的函数进行调用
Drift - 复合漂移率函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Diffusion - 复合扩散率函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Simulation - 模拟函数或方法
Return - Return 输入参量的访问函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Speed - Speed 输入参量的访问函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Level - Level 输入参量的访问函数，可作为时间和状态的函数进行调用
Volatility - Volatility 输入参量的访问函数，可作为时间和状态的函数进行调用

示例

输入参量

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`Return` — `Return` 表示参数 μ
数组、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

Return 表示参数 μ，指定为数组或时间的确定性函数。

如果您指定 Return 为数组，它必须是一个 NVars×NVars 矩阵，表示预期（均值）瞬时收益率。

作为时间的确定性函数，当以实数值标量时间 t 作为唯一输入调用 Return 时，Return 必须生成一个 NVars×NVars 矩阵。如果您指定 Return 为时间和状态的函数，则在使用下面两个输入调用它时，必须返回一个 NVars×NVars 矩阵：

实值标量观测时间 t。
NVars×1 状态向量 X_t。

数据类型: double | function_handle

`Speed` — `Return` 表示参数 S
数组、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

Speed 表示参数 S，指定为数组或时间的确定性函数。

如果您指定 Speed 为数组，它必须是均值回归速度（即状态向量回归到其长期平均 Level 的速率）的 NVars×NVars 矩阵。

作为时间的确定性函数，当以实数值标量时间 t 作为唯一输入调用 Speed 时，Speed 必须生成一个 NVars×NVars 矩阵。如果您指定 Speed 为时间和状态的函数，它将计算均值回归的速度。当使用下面两个输入调用时，该函数必须生成 NVars×NVars 的回归速率矩阵：

实值标量观测时间 t。
NVars×1 状态向量 X_t。

数据类型: double | function_handle

`Level` — `Level` 表示参数 L
数组、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

Level 表示参数 L，指定为数组或时间的确定性函数。

如果您指定 Level 为数组，它必须是 NVars×1 的回归水平列向量。

作为时间的确定性函数，当以实数值标量时间 t 作为唯一输入调用 Level 时，Level 必须生成一个 NVars×1 列向量。如果您指定 Level 为时间和状态的函数，则在使用下面两个输入调用时，它必须生成 NVars×1 的回归水平列向量：

实值标量观测时间 t。
NVars×1 状态向量 X_t。

数据类型: double | function_handle

`Volatility` — `Volatility` 表示 CIR 随机方差模型的瞬时波动率
标量、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

Volatility（通常称为波动率的波动率或方差的波动率）表示 CIR 随机方差模型的瞬时波动率，指定为标量或时间的确定性函数。

如果您将 Volatility 指定为标量，则它表示 CIR 随机方差模型的瞬时波动率。

作为时间的确定性函数，当以实数值标量时间 t 作为唯一输入调用 Volatility 时，Volatility 必须生成一个标量。如果将它指定为时间和状态的函数，则在使用下面两个输入调用它时，Volatility 会生成一个标量：

实值标量观测时间 t。
2×1 状态向量 X_t。

数据类型: double | function_handle

注意

虽然 heston 不对任何这些输入参量的符号施加限制，但每个参量都应指定为一个正值。

属性

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`StartTime` — 首次观测的开始时间，应用于所有状态变量
`0` (默认) | 标量

首次观测的开始时间，应用于所有状态变量，指定为标量

数据类型: double

`StartState` — 状态变量的初始值
`1` (默认) | 标量、列向量或矩阵

状态变量的初始值，指定为标量、列向量或矩阵。

如果 StartState 是一个标量，则 heston 在所有试验中对所有状态变量应用相同的初始值。

如果 StartState 是一个列向量，则 heston 在所有试验中对每个状态变量应用唯一的初始值。

如果 StartState 是一个矩阵，则 heston 在每次试验中对每个状态变量应用唯一的初始值。

数据类型: double

`Correlation` — 为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性
`NBrowns`×`NBrowns` 单位矩阵，表示独立高斯过程 (默认) | 半正定矩阵 | 确定性函数

为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性，指定为 NBrowns×NBrowns 半正定矩阵或确定性函数 C(t)，接受当前时间 t 并返回 NBrowns×NBrowns 半正定相关矩阵。如果 Correlation 不是对称半正定矩阵，则使用 nearcorr 为相关矩阵创建半正定矩阵。

Correlation 矩阵表示静态条件。

作为时间的确定性函数，Correlation 允许您指定动态相关结构体。

数据类型: double

`Simulation` — 用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法
欧拉逼近模拟 (`simByEuler`) (默认) | 函数 | SDE 模拟方法

用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法，指定为函数或 SDE 模拟方法。

数据类型: function_handle

`Drift` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量
漂移率函数存储的值 (默认) | 漂移对象或函数可由 (t, X_t) 访问

此属性为只读。

连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量，指定为可由 (t, X_t) 访问的漂移对象或函数。

漂移率设定支持模拟 NVars 个状态变量（由 NBrowns 个布朗运动风险源驱动）在 NPeriods 个连续观测周期内的样本路径，逼近连续时间随机过程。

drift 类允许使用以下形式的 drift 创建漂移率对象：

$F (t, X_{t}) = A (t) + B (t) X_{t}$

其中：

A 是一个 NVars×1 向量值函数，可使用 (t, X_t) 接口访问。
B 是一个 NVars×NVars 矩阵值函数，可使用 (t, X_t) 接口访问。

drift 对象显示的参数是：

Rate:漂移率函数 F(t,X_t)
A:F(t,X_t) 的截断项 A(t,X_t)
B:F(t,X_t) 的一阶项 B(t,X_t)

A 和 B 让您可以查询原始输入。存储在 Rate 中的函数完全封装了 A 和 B 的组合效果。

当指定为 MATLAB 双精度数组时，输入 A 和 B 显然与线性漂移率参数式相关联。然而，指定 A 或 B 为函数，几乎可以让您自定义任何漂移率设定。

注意

您可以采用最一般的形式来表达 drift 和 diffusion 类，以突出 (t, X_t) 函数式接口。不过，在指定分量 A 和 B 时，可以将其指定为支持通用 (t, X_t) 接口，也可以指定为具有适当维度的 MATLAB 数组。

示例: F = drift(0, 0.1) % Drift rate function F(t,X)

数据类型: struct | double

`Diffusion` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量
从扩散率函数存储的值 (默认) | 可由 (t, X_t) 访问的扩散对象或函数

此属性为只读。

连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量，指定为可由 (t, X_t) 访问的漂移对象或函数。

扩散率设定支持模拟 NVars 个状态变量（由 NBrowns 个布朗运动风险源驱动）在 NPeriods 个连续观测周期内的样本路径，逼近连续时间随机过程。

diffusion 类允许使用 diffusion 创建扩散率对象：

$G (t, X_{t}) = D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t)$

其中：

D 是一个 NVars×NVars 对角矩阵值函数。
D 的每个对角元素是状态向量对应元素的 Alpha 指数次幂，该指数是一个 NVars×1 向量值函数。
V 是一个 NVars×NBrowns 矩阵值波动率函数 Sigma。
Alpha 和 Sigma 也可以使用 (t, X_t) 接口访问。

diffusion 对象显示的参数是：

Rate:扩散率函数 G(t,X_t)。
Alpha:状态向量指数，决定了 G(t,X_t) 的 D(t,X_t) 的格式。
Sigma:G(t,X_t) 的波动率 V(t,X_t)。

Alpha 和 Sigma 让您可以查询原始输入。（单个 Alpha 和 Sigma 参数由存储在 Rate 中的函数完全封装。）Rate 函数是 drift 和 diffusion 对象的计算引擎，而这一函数是模拟所需的唯一参数。

注意

示例: G = diffusion(1, 0.3) % Diffusion rate function G(t,X)

数据类型: struct | double

对象函数

`interpolate`	Brownian interpolation of stochastic differential equations (SDEs) for `SDE`, `BM`, `GBM`, `CEV`, `CIR`, `HWV`, `Heston`, `SDEDDO`, `SDELD`, or `SDEMRD` models
`simulate`	Simulate multivariate stochastic differential equations (SDEs) for `SDE`, `BM`, `GBM`, `CEV`, `CIR`, `HWV`, `Heston`, `SDEDDO`, `SDELD`, `SDEMRD`, `Merton`, or `Bates` models
`simByEuler`	Euler simulation of stochastic differential equations (SDEs) for `SDE`, `BM`, `GBM`, `CEV`, `CIR`, `HWV`, `Heston`, `SDEDDO`, `SDELD`, or `SDEMRD` models
`simByQuadExp`	Simulate `Bates`, `Heston`, and `CIR` sample paths by quadratic-exponential discretization scheme
`simByTransition`	Simulate `Heston` sample paths with transition density
`simByMilstein`	Simulate `Heston` process sample paths by Milstein approximation
`simByMilstein2`	Simulate `Heston` process sample paths by second order Milstein approximation

示例

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创建一个 heston 对象

打开实时脚本

Heston (heston) 类直接派生自基于漂移和扩散的 SDE (sdeddo)。每个赫斯顿模型都是由两个耦合的一元模型组成的二元复合模型：

$d X_{1 t} = B (t) X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t}$

$d X_{2 t} = S (t) [L (t) - X_{2 t}] d t + V (t) \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t}$

创建一个 heston 对象来表示模型：

$d X_{1 t} = 0.1 X_{1 t} d t + \sqrt{X_{2 t}} X_{1 t} d W_{1 t}$

$d X_{2 t} = 0.2 [0.1 - X_{2 t}] d t + 0.05 \sqrt{X_{2 t}} d W_{2 t}$

obj = heston (0.1, 0.2, 0.1, 0.05)  % (Return, Speed, Level, Volatility)

obj = 
   Class HESTON: Heston Bivariate Stochastic Volatility
   ----------------------------------------------------
     Dimensions: State = 2, Brownian = 2
   ----------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1 (2x1 double array) 
    Correlation: 2x2 diagonal double array 
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
         Return: 0.1
          Speed: 0.2
          Level: 0.1
     Volatility: 0.05

详细信息

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实例层次结构

SDE 类之间存在继承关系。

下图是对继承关系的说明。

有关详细信息，请参阅SDE Class Hierarchy。

算法

当您将必需的输入参数指定为数组时，它们将与特定的参数化形式相关联。相比之下，当您将任一必需的输入参数指定为函数时，几乎可以自定义任何设定。

在没有输入的情况下访问输出参数只会返回原始输入设定。因此，当您不带输入调用这些参数时，它们的行为就像简单的属性，您可以测试指定的原始输入的数据类型（是双精度值还是函数，即是静态的还是动态的）。这对于验证和设计方法非常有用。

当您使用输入调用这些参数时，它们的行为类似于函数，给人以动态行为的印象。该参数接受观测时间 t 和状态向量 X_t，并返回适当维度的数组。即使您最初将输入指定为数组，heston 也会将其视为时间和状态的静态函数，这样可以确保所有参数都可由同一接口访问。

参考

[1] Aït-Sahalia, Yacine. “Testing Continuous-Time Models of the Spot Interest Rate.” Review of Financial Studies, vol. 9, no. 2, Apr. 1996, pp. 385–426.

[2] Aït-Sahalia, Yacine. “Transition Densities for Interest Rate and Other Nonlinear Diffusions.” The Journal of Finance, vol. 54, no. 4, Aug. 1999, pp. 1361–95.

[3] Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer, 2004.

[4] Hull, John. Options, Futures and Other Derivatives. 7th ed, Prentice Hall, 2009.

[5] Johnson, Norman Lloyd, et al. Continuous Univariate Distributions. 2nd ed, Wiley, 1994.

[6] Shreve, Steven E. Stochastic Calculus for Finance. Springer, 2004.

版本历史记录

在 R2008a 中推出

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R2023b: 添加了 `simByMilstein2` 方法

使用 simByMilstein2 方法近似求出随机微分方程的数值解。

R2023a: 添加了 `simByMilstein` 方法

使用 simByMilstein 方法近似求出随机微分方程的数值解。

heston

说明

创建对象

语法

描述

输入参量

`Return` — `Return` 表示参数 μ
数组、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

`Speed` — `Return` 表示参数 S
数组、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

`Level` — `Level` 表示参数 L
数组、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

`Volatility` — `Volatility` 表示 CIR 随机方差模型的瞬时波动率
标量、时间的确定性函数或时间和状态的确定性函数

属性

`StartTime` — 首次观测的开始时间，应用于所有状态变量
`0` (默认) | 标量

`StartState` — 状态变量的初始值
`1` (默认) | 标量、列向量或矩阵

`Correlation` — 为生成布朗运动向量（维纳过程）而抽取的高斯随机变量之间的相关性
`NBrowns`×`NBrowns` 单位矩阵，表示独立高斯过程 (默认) | 半正定矩阵 | 确定性函数

`Simulation` — 用户自定义的模拟函数或 SDE 模拟方法
欧拉逼近模拟 (`simByEuler`) (默认) | 函数 | SDE 模拟方法

`Drift` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的漂移率分量
漂移率函数存储的值 (默认) | 漂移对象或函数可由 (t, X_t) 访问

`Diffusion` — 连续时间随机微分方程 (SDE) 的扩散率分量
从扩散率函数存储的值 (默认) | 可由 (t, X_t) 访问的扩散对象或函数

对象函数