漂移和扩散模型

概览

因为基础 sde 对象接受漂移和扩散对象，而非通过 (t, X_t) 访问的函数，所以您可使用自定义漂移或扩散函数和对象的组合来创建 sde 对象。drift 漂移率和 diffusion 扩散率对象封装了输入参数的详细信息，以优化输入参数的任何给定组合的运行时效率。

虽然 drift 和 diffusion 对象在其表示的细节上有所区别，但它们在基本实现和接口上相同。它们看起来像函数、行为像函数，也像函数一样进行计算：

通过 drift 对象可以创建以下形式的漂移率对象：

$F (t, X_{t}) = A (t) + B (t) X_{t}$
，其中：
- A 是一个 NVars×1 向量值函数，可使用 (t, X_t) 接口访问。
- B 是一个 NVars×NVars 矩阵值函数，可使用 (t, X_t) 接口访问。
类似地，使用 diffusion 对象可以创建扩散率对象：
$G (t, X_{t}) = D (t, X_{t}^{α (t)}) V (t)$
其中：
- D 是一个 NVars×NVars 对角矩阵值函数。
- D 的每个对角元素是状态向量对应元素的 Alpha 指数次幂，该指数是一个 NVars×1 向量值函数。
- V 是一个 NVars×NBrowns 矩阵值波动率函数 Sigma。
- Alpha 和 Sigma 也可以使用 (t, X_t) 接口访问。
注意
您可以采用最一般的形式来表达 drift 和 diffusion 对象，以突出 (t, X_t) 函数式接口。不过，在指定分量 A 和 B 时，可以将其指定为支持通用 (t, X_t) 接口，也可以指定为具有适当维度的 MATLAB^® 数组。

示例：漂移率和扩散率

在此示例中，您创建 drift 漂移率和 diffusion 扩散率对象来创建与示例：基础 SDE 模型中相同的模型。

创建一个漂移率函数 F 和一个扩散率函数 G：

F = drift(0, 0.1)      % Drift rate function F(t,X)

F = 
   Class DRIFT: Drift Rate Specification  
   -------------------------------------  
      Rate: drift rate function F(t,X(t)) 
         A: 0
         B: 0.1

G = diffusion(1, 0.3)  % Diffusion rate function G(t,X)

G = 
   Class DIFFUSION: Diffusion Rate Specification 
   --------------------------------------------- 
       Rate: diffusion rate function G(t,X(t))  
      Alpha: 1
      Sigma: 0.3

每个对象的显示效果都与 MATLAB 结构体相似，并包含补充信息（即，对象的类和简要描述）。但是，与 SDE 表示相反，没有出现模型维度摘要，因为 drift 和 diffusion 对象创建了模型分量而不是模型。F 和 G 都没有包含足够的信息来表征问题的维度。

drift 对象显示的参数为：

Rate:漂移率函数 F(t,X_t)
A:F(t,X_t) 的截断项 A(t,X_t)
B:F(t,X_t) 的一阶项 B(t,X_t)

A 和 B 让您可以查询原始输入。存储在 Rate 中的函数完全封装了 A 和 B 的组合效果。

diffusion 对象显示的参数为：

Rate:扩散率函数 G(t,X_t)。
Alpha:状态向量指数，决定了 G(t,X_t) 的 D(t,X_t) 的格式。
Sigma:G(t,X_t) 的波动率 V(t,X_t)。

同样，您可以使用 Alpha 和 Sigma 来查询原始输入。（单个 Alpha 和 Sigma 参数由存储在 Rate 中的函数完全封装。）Rate 函数是 drift 和 diffusion 对象的计算引擎，而这一函数是模拟所需的唯一参数。

示例：SDEDDO 模型

sdeddo 对象派生自基础 sde 对象。若要使用此对象，您必须将漂移率和扩散率对象传递给 sdeddo。

创建 drift 和 diffusion 比率对象：

F = drift(0, 0.1);      % Drift rate function F(t,X)
G = diffusion(1, 0.3);  % Diffusion rate function G(t,X)

将这些对象传递给 sdeddo 对象：

obj = sdeddo(F, G)      % dX = F(t,X)dt + G(t,X)dW

obj = 
   Class SDEDDO: SDE from Drift and Diffusion Objects
   --------------------------------------------------
     Dimensions: State = 1, Brownian = 1
   --------------------------------------------------
      StartTime: 0
     StartState: 1
    Correlation: 1
          Drift: drift rate function F(t,X(t)) 
      Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) 
     Simulation: simulation method/function simByEuler
              A: 0
              B: 0.1
          Alpha: 1
          Sigma: 0.3

在此示例中，对象显示了与输入漂移和扩散对象相关联的额外参数。

另请参阅