mldivide, \

求解关于 x 的线性方程组 Ax = B

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语法

x = A\B

x = mldivide(A,B)

说明

示例

x = A\B 对线性方程组 A*x = B 求解。矩阵 A 和 B 必须具有相同的行数。如果 A 未正确缩放或接近奇异值，MATLAB^® 将会显示警告信息，但还是会执行计算。

如果 A 是标量，那么 A\B 等于 A.\B。
如果 A 是 n×n 方阵，B 是 n 行矩阵，那么 x = A\B 是方程 A*x = B 的解（如果存在解的话）。
如果 A 是矩形 m×n 矩阵，且 m ~= n，B 是 m 行矩阵，那么 A\B 返回方程组 A*x= B 的最小二乘解。

x = mldivide(A,B) 是执行 x = A\B 这一操作的替代方法，但很少使用。它可以启用类的运算符重载。

示例

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方程组

打开实时脚本

对简单的线性方程组 A*x = B 求解。

A = magic(3);
B = [15; 15; 15];
x = A\B

包含奇异矩阵的线性方程组

打开实时脚本

对包含奇异矩阵 A 的线性方程组 A*x = b 求解。

A = magic(4);
b = [34; 34; 34; 34];
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.306145e-17.

如果 rcond 在 0 和 eps 之间，MATLAB® 会发出接近奇异的警告，但还会继续计算。如果处理的是病态矩阵，尽管残差 (b-A*x) 相对较小，还是有可能出现不可靠解。在此特例中，残差的范数是零，尽管 rcond 很小，仍能求得精确解。

当 rcond 等于 0 时，会出现奇异警告。

A = [1 0; 0 0];
b = [1; 1];
x = A\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 2×1

     1
   Inf

这种情况下，除以零会导致计算涉及 Inf 和/或 NaN，使得计算结果不可靠。

欠定方程组的最小二乘解

打开实时脚本

对线性方程组 A*x = b 求解。

A = [1 2 0; 0 4 3];
b = [8; 18];
x = A\b

包含稀疏矩阵的线性方程组

打开实时脚本

使用稀疏矩阵对简单的线性方程组求解。

考虑以下矩阵方程 A*x = B。

A = sparse([0 2 0 1 0; 4 -1 -1 0 0; 0 0 0 3 -6; -2 0 0 0 2; 0 0 4 2 0]);
B = sparse([8; -1; -18; 8; 20]);
x = A\B

x = 
   (1,1)       1.0000
   (2,1)       2.0000
   (3,1)       3.0000
   (4,1)       4.0000
   (5,1)       5.0000

输入参数

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`A`, `B` — 操作数
向量 | 满矩阵 | 稀疏矩阵

操作数，指定为向量、满矩阵或稀疏矩阵。A 和 B 必须具有相同的行数。

如果 A 或 B 具有整数数据类型，则另一个输入必须为标量。整数数据类型的操作数不能为复数。

输出参数

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`x` — 解
向量 | 满矩阵 | 稀疏矩阵

解，以向量、满矩阵或稀疏矩阵返回。如果 A 是 m×n 矩阵，B 是 m×p 矩阵，那么 x 是 n×p 矩阵，包括 p==1 的情况。

如果 A 具有满存储，则 x 也是完全的。如果 A 是稀疏矩阵，则 x 与 B 具有相同的存储。

提示

运算符 / 和 \ 通过以下对应关系而相互关联：B/A = (A'\B')'。
如果 A 是方阵，则 A\B 约等于 inv(A)*B，但 MATLAB 会用不同的更为稳健的方式处理 A\B，而且效果更好。
如果 A 的秩小于 A 中的列数，则 x = A\B 不一定是最小范数解。您可以使用 x = lsqminnorm(A,B) 或 x = pinv(A)*B 来计算最小范数最小二乘解。
使用 decomposition 对象多次高效地求解具有不同右侧的线性方程组。decomposition 对象非常适合求解需要重复求解的问题，因为系数矩阵的分解不需要执行多次。

算法

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mldivide 在求解线性方程组方面的多用性源于其能够在调度适当的求解器时利用问题中的对称性。此方法旨在最大限度减少计算时间。该函数首先区分满（也称为“稠密”）和稀疏输入数组。

针对完全输入的算法

下面的流程图显示当输入 A 和 B 为完全时的算法路径。

针对稀疏输入的算法

如果 A 是满矩阵，B 是稀疏矩阵，则 mldivide 将 B 转换为满矩阵并使用完整算法路径（如上）计算具有满存储的解。如果 A 是稀疏矩阵，则解 x 的存储与 B 的解相同，并且 mldivide 遵循稀疏输入的算法路径，如下所示。

参考

[1] Gilbert, John R., and Tim Peierls. “Sparse Partial Pivoting in Time Proportional to Arithmetic Operations.” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 9, no. 5 (September 1988): 862–874. https://doi.org/10.1137/0909058.

[2] Anderson, E., ed. LAPACK Users’ Guide. 3rd ed. Software, Environments, Tools. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. https://doi.org/10.1137/1.9780898719604.

[3] Davis, Timothy A. "Algorithm 832: UMFPACK V4.3 – an unsymmetric-pattern multifrontal method." ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 196–199. https://doi.org/10.1145/992200.992206.

[4] Duff, Iain S. “MA57---a Code for the Solution of Sparse Symmetric Definite and Indefinite Systems.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 2 (June 2004): 118–144. https://doi.org/10.1145/992200.992202.

[5] Davis, Timothy A., John R. Gilbert, Stefan I. Larimore, and Esmond G. Ng. “Algorithm 836: COLAMD, a Column Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 377–380. https://doi.org/10.1145/1024074.1024080.

[6] Amestoy, Patrick R., Timothy A. Davis, and Iain S. Duff. “Algorithm 837: AMD, an Approximate Minimum Degree Ordering Algorithm.” ACM Transactions on Mathematical Software 30, no. 3 (September 2004): 381–388. https://doi.org/10.1145/1024074.1024081.

[7] Chen, Yanqing, Timothy A. Davis, William W. Hager, and Sivasankaran Rajamanickam. “Algorithm 887: CHOLMOD, Supernodal Sparse Cholesky Factorization and Update/Downdate.” ACM Transactions on Mathematical Software 35, no. 3 (October 2008): 1–14. https://doi.org/10.1145/1391989.1391995.

[8] Davis, Timothy A. “Algorithm 915, SuiteSparseQR: Multifrontal Multithreaded Rank-Revealing Sparse QR Factorization.” ACM Transactions on Mathematical Software 38, no. 1 (November 2011): 1–22. https://doi.org/10.1145/2049662.2049670.

扩展功能

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

此函数支持 tall 数组，但存在以下限制：

对于语法 Z = X\Y，数组 X 必须为标量，或行数与 Y 相同的 tall 矩阵。

有关详细信息，请参阅使用 tall 数组处理无法放入内存的数据。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

对于稀疏矩阵输入，语言标准必须为 C99 或更高版本。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

用法说明和限制：

对于稀疏矩阵输入，语言标准必须为 C99 或更高版本。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

mldivide 函数部分支持 GPU 数组。当您将输入数据指定为 gpuArray (Parallel Computing Toolbox) 时，函数的某些语法可在 GPU 上运行。用法说明和限制：

如果 A 是矩形矩阵，则它也必须是非稀疏矩阵。
如果 A 未正确缩放、接近奇异矩阵或秩亏，MATLAB mldivide 函数会显示警告。gpuArray mldivide 不能检查此情况。请采取措施来避免这种情况。
不支持 64 位整数。

有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

用法说明和限制：

如果 A 未正确缩放、接近奇异矩阵或秩亏，MATLAB mldivide 函数会显示警告。分布式数组 mldivide 无法检查此情况。请采取措施来避免这种情况。

有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions with Distributed Arrays (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

全部展开

R2022b: 改进了使用小型矩阵时的性能

mldivide 函数改进了在使用小型系数矩阵 A 求解线性方程组 A*x = b 时的性能。性能改进适用于 16×16 或更小的实矩阵，以及 8×8 或更小的复矩阵。

例如，以下代码求解由一个 12×12 实矩阵指定的线性方程组。代码执行速度比上一版本大约快 1.7 倍。

function mldividePerf
A = rand(12);
for k = 1:1e5
    x = A\A;
end
end

大致的执行时间是：

R2022a：0.72 秒

R2022b：0.42 秒

代码是在运行 Windows^® 10 的 Intel^® Xeon^® CPU W-2133 @ 3.60 GHz 测试系统上使用 timeit 函数计时的：

timeit(@mldividePerf)

R2022a: LDL 分解不再用于满矩阵

LDL 分解不再用于埃尔米特不定的满矩阵。而是对这些矩阵使用 LU 分解。

另请参阅

mldivide, \

语法

说明

示例

方程组

包含奇异矩阵的线性方程组

欠定方程组的最小二乘解

包含稀疏矩阵的线性方程组

输入参数

A, B — 操作数 向量 | 满矩阵 | 稀疏矩阵

输出参数

x — 解 向量 | 满矩阵 | 稀疏矩阵

提示

算法

针对完全输入的算法

针对稀疏输入的算法

参考

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。

版本历史记录

R2022b: 改进了使用小型矩阵时的性能

R2022a: LDL 分解不再用于满矩阵

另请参阅

主题

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`A`, `B` — 操作数
向量 | 满矩阵 | 稀疏矩阵

`x` — 解
向量 | 满矩阵 | 稀疏矩阵

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

分布式数组
使用 Parallel Computing Toolbox™ 在集群的组合内存中对大型数组进行分区。