IIR 滤波器设计

此示例比较经典的巴特沃斯、切比雪夫和椭圆设计；并探索贝塞尔、尤尔-沃克和广义巴特沃斯滤波器。

IIR 与 FIR 滤波器的比较

与 FIR 滤波器相比，IIR 滤波器的主要优点是，要满足同一组设定，它的滤波器阶数通常远远低于 FIR 滤波器。虽然 IIR 滤波器具有非线性相位，但 MATLAB® 软件中的数据处理通常是“离线”执行的，即整个数据序列在滤波之前是可用的。这允许采用非因果零相位滤波方法（通过 filtfilt 函数），消除 IIR 滤波器的非线性相位失真。

经典 IIR 滤波器

经典的 IIR 滤波器、巴特沃斯滤波器、切比雪夫 I 型和 II 型滤波器滤波器、椭圆滤波器和贝塞尔滤波器都以不同的方式逼近理想的矩形滤波器。

Signal Processing Toolbox™ 提供的函数可在模拟域和数字域以及低通、高通、带通和带阻配置中创建所有上述类型的经典 IIR 滤波器（贝塞尔滤波器除外，因为它仅支持模拟情况）。对于大多数滤波器类型，您还可以在通带和阻带衰减以及过渡宽度方面找到符合给定滤波器设定的最低滤波器阶数。

其他 IIR 滤波器

直接滤波器设计函数 yulewalk 用于设计幅值响应接近指定频率响应函数的滤波器。这是创建多频带带通滤波器的一种方法。

您也可以使用参数化建模或系统辨识函数来设计 IIR 滤波器。这些函数在 Parametric Modeling 中有讨论。

广义巴特沃斯设计函数 maxflat 在广义巴特沃斯滤波器设计一节中有讨论。

IIR 滤波器方法概述

下表总结了使用 Signal Processing Toolbox™ 的各种滤波器方法，并列出可用于实现这些方法的函数。

工具箱滤波器方法和可用函数

滤波器方法	描述	滤波器函数
模拟原型	利用经典低通原型滤波器在连续（拉普拉斯）域中的零极点，通过频率变换和滤波器离散化获得数字滤波器。	滤波器设计： `besself`, `butter`, `cheby1`, `cheby2`, `ellip` 阶估计函数：`buttord`、`cheb1ord`、`cheb2ord`、`ellipord` 低通模拟原型构建：`besselap`、`buttap`、`cheb1ap`、`cheb2ap`、`ellipap` 频率变换：`lp2bp`、`lp2bs`、`lp2hp`、`lp2lp` 滤波器离散化：`bilinear`、`impinvar`
直接设计	通过逼近分段线性幅值响应，直接在离散时域中设计数字滤波器。	`yulewalk`
广义巴特沃斯设计	设计零点多于极点的低通巴特沃斯滤波器。	`maxflat`
参数化建模	设计逼近规定的时域或频域响应的数字滤波器。（请参阅 System Identification Toolbox™ 文档，了解大量参数化建模工具。）	时域建模： `lpc`, `prony`, `stmcb` 频域建模：`invfreqs`、`invfreqz`

使用模拟原型的经典 IIR 滤波器设计

该工具箱提供的主要 IIR 数字滤波器设计方法基于将经典低通模拟滤波器转换为其等效的数字滤波器。以下各节说明如何设计滤波器，并总结了支持的滤波器类型的特征。有关滤波器设计过程的详细步骤，请参阅Special Topics in IIR Filter Design。

完成经典 IIR 滤波器设计

使用滤波器设计函数，您可以轻松创建具有低通、高通、带通或带阻 ftype 配置的任意阶滤波器。

滤波器设计函数

滤波器类型	设计函数
贝塞尔（`besself`，仅模拟）	`[b,a] = besself(n,Wn,ftype)` `[z,p,k] = besself(n,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = besself(n,Wn,ftype)`
巴特沃斯 (`butter`)	`[b,a] = butter(n,Wn,ftype)` `[z,p,k] = butter(n,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = butter(n,Wn,ftype)`
切比雪夫 I 型 (`cheby1`)	`[b,a] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)` `[z,p,k] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)`
切比雪夫 II 型 (`cheby2`)	`[b,a] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype)` `[z,p,k] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = cheby2(n,Rs,Wn,ftype)`
椭圆 (`ellip`)	`[b,a] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype)` `[z,p,k] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype)` `[A,B,C,D] = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype)`

默认情况下，这些函数都返回低通滤波器；您只需指定所需的截止频率 Wn，以归一化单位表示（使奈奎斯特频率为 1 Hz）。要获得高通滤波器，请将 "high" 附加到函数的参数列表中。要获得带通或带阻滤波器，请将 Wn 指定为包含通带边缘频率的二元素向量。为带阻配置追加 "stop"。

以下是一些数字滤波器示例：

[bB,aB] = butter(5,0.4);                  % Lowpass Butterworth
[bC1,aC1] = cheby1(4,1,[0.4 0.7]);        % Bandpass Chebyshev Type I
[bC2,aC2] = cheby2(6,60,0.8,"high");      % Highpass Chebyshev Type II
[bE,aE] = ellip(3,1,60,[0.4 0.7],"stop"); % Bandstop elliptic

要设计一个模拟滤波器（可能是出于仿真需要），请在尾部添加参数 "s"，以弧度/秒为单位指定截止频率：

[bBA,aBA] = butter(5,0.4,"s");    % Analog Butterworth filter

所有滤波器设计函数都会返回一个以传递函数、零极点增益或状态空间线性系统模型形式表示的滤波器，具体形式取决于存在多少输出参量。一般情况下，您应该避免使用传递函数形式，因为可能会发生舍入误差导致的数值问题。更好的做法是使用零极点增益形式，您可以使用 zp2sos 将其转换为二阶节 (SOS) 形式，然后使用 SOS 形式来分析或实现您的滤波器。

所有经典的 IIR 低通滤波器都不适用于极低的截止频率。因此，与其设计通带非常窄的低通 IIR 滤波器，不如设计更宽的通带并抽取输入信号。

按照频域设定设计 IIR 滤波器

Signal Processing Toolbox™ 提供阶选择函数，用于计算满足一组给定要求的最小滤波器阶。

滤波器类型	阶估计函数
巴特沃斯	`[n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)`
切比雪夫 I 型	`[n,Wn] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)`
切比雪夫 II 型	`[n,Wn] = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)`
椭圆	`[n,Wn] = ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs)`

这些阶估计函数与滤波器设计函数结点合使用非常有用。假设您需要一个具有以下设定的带通滤波器：通带为 1000 至 2000 Hz，阻带从通带两侧外 500 Hz 处开始，采样频率为 10 kHz，通带波纹至多 1 dB，阻带衰减至少 60 dB。您可以通过使用以下 butter 函数来满足这些设定。

[n,Wn] = buttord([1000 2000]/5000,[500 2500]/5000,1,60)

n = 
12

Wn = 1×2

    0.1951    0.4080

[bB2,aB2] = butter(n,Wn);

满足相同要求的椭圆滤波器由下式给出

[n,Wn] = ellipord([1000 2000]/5000,[500 2500]/5000,1,60)

n = 
5

Wn = 1×2

    0.2000    0.4000

[bE2,aE2] = ellip(n,1,60,Wn);

这些函数也适用于其他标准频带配置以及模拟滤波器。

经典 IIR 滤波器类型的比较

Signal Processing Toolbox™ 提供五种不同类型的经典 IIR 滤波器，它们各有所长。本部分显示每种滤波器的基本模拟原型形式，并总结了主要特征。

巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器提供理想低通滤波器在模拟频率 $Ω = 0$ 和 $Ω = \infty$ 处的响应的最佳泰勒级数逼近；对于任意阶 $N$ ，幅值平方响应在这两个位置的 $2 N - 1$ 阶导数为零（即在 $Ω = 0$ 和 $Ω = \infty$ 处达到最大平坦）。总体而言，响应呈单调形态，从 $Ω = 0$ 到 $Ω = \infty$ 平稳下降。在 $Ω = 1$ 处， $| H (j Ω) | = 1 / \sqrt{2}$ 。

n = 5;
[z,p,k] = buttap(n);
[bBp,aBp] = zp2tf(z,p,k);
[hBp,wBp] = freqs(bBp,aBp,4096);
semilogx(wBp,abs(hBp))
grid on
xlabel("Frequency (rad/s)")
ylabel("Magnitude")