butter

R2026b

巴特沃斯滤波器设计

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语法

[b,a] = butter(n,Wn)

[b,a] = butter(n,Wn,ftype)

[z,p,k] = butter(___)

[A,B,C,D] = butter(___)

[___] = butter(___,"s")

[B,A] = butter(n,Wn,"ctf")

[___] = butter(n,Wn,ftype,"ctf")

[___,gS] = butter(___)

描述

[b,a] = butter(n,Wn) 设计归一化截止频率为 Wn 的 n 阶低通数字巴特沃斯滤波器。butter 函数返回滤波器传递函数的分子系数和分母系数。

示例

[b,a] = butter(n,Wn,ftype) 用于根据 ftype 的值和 Wn 的元素数目，设计低通、高通、带通或带阻数字巴特沃斯滤波器。由此得到的带通和带阻滤波器设计的阶数都为 2n。

注意

设计传递函数阶数小至 4 的 IIR 滤波器时，可能会遇到数值不稳定的问题。有关影响传递函数形成的数值问题的更多信息，请参阅传递函数和 CTF。

示例

[z,p,k] = butter(___) 设计数字巴特沃斯滤波器，并返回其零点、极点和增益。此语法可包含上述语法中的任何输入参量。

示例

[A,B,C,D] = butter(___) 设计数字巴特沃斯滤波器，并返回指定其状态空间表示的矩阵。

示例

[___] = butter(___,"s") 使用上述语法中的任何输入或输出参量设计模拟巴特沃斯滤波器。

示例

[B,A] = butter(n,Wn,"ctf") 使用二阶Cascaded Transfer Functions (CTF) 设计低通数字巴特沃斯滤波器。该函数返回列出滤波器传递函数的分母和分子多项式系数的矩阵，表示为级联的滤波器节。与单节传递函数相比，这种方法生成的 IIR 滤波器具有更高的数值稳定性。 (自 R2024b 起)

[___] = butter(n,Wn,ftype,"ctf") 设计低通、高通、带通或带阻数字巴特沃斯滤波器，并使用 CTF 格式返回滤波器表示。得到的设计节为 2 阶（低通和高通滤波器）或 4 阶（带通和带阻滤波器）。 (自 R2024b 起)

示例

[___,gS] = butter(___) 还返回系统的总增益。您必须指定 "ctf" 才能返回 gS。 (自 R2024b 起)

示例

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低通巴特沃斯传递函数

打开实时脚本

设计截止频率为 300 Hz 的 6 阶低通巴特沃斯滤波器，对于以 1000 Hz 的速率采样的数据，截止频率对应于 $0.6 π$ 弧度/采样点。绘制其幅值和相位响应。用它对长度为 1000 个采样的随机信号进行滤波。

fc = 300;
fs = 1000;

[b,a] = butter(6,fc/(fs/2));

freqz(b,a,[],fs)

Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Phase, xlabel Frequency (Hz), ylabel Phase (degrees) contains an object of type line. Axes object 2 with title Magnitude, xlabel Frequency (Hz), ylabel Magnitude (dB) contains an object of type line.

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

带阻巴特沃斯滤波器

打开实时脚本

设计一个 6 阶带阻巴特沃斯滤波器，其归一化边缘频率为 $0.2 π$ 和 $0.6 π$ 弧度/采样点。绘制其幅值和相位响应。用它对随机数据进行滤波。

[b,a] = butter(3,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

$Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Phase, xlabel Normalized Frequency (\times\pi rad/sample), ylabel Phase (degrees) contains an object of type line. Axes object 2 with title Magnitude, xlabel Normalized Frequency (\times\pi rad/sample), ylabel Magnitude (dB) contains an object of type line.$

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

高通巴特沃斯滤波器

打开实时脚本

设计一个 9 阶高通巴特沃斯滤波器。指定截止频率为 300 Hz，对于以 1000 Hz 的速率采样的数据，截止频率对应于 $0.6 π$ 弧度/采样点。绘制幅值和相位响应。将零点、极点和增益转换为二阶节。显示滤波器的频率响应。

[z,p,k] = butter(9,300/500,"high");
sos = zp2sos(z,p,k);
freqz(sos)

带通巴特沃斯滤波器

打开实时脚本

设计一个 20 阶带通巴特沃斯滤波器，其截止频率下限为 500 Hz，截止频率上限为 560 Hz。指定采样率为 1500 Hz。使用状态空间表示。将状态空间表示转换为二阶节。可视化频率响应。

fs = 1500;
[A,B,C,D] = butter(10,[500 560]/(fs/2));
sos = ss2sos(A,B,C,D);
freqz(sos,[],fs)

使用 designfilt 设计一个相同的滤波器。可视化频率响应。

d = designfilt("bandpassiir",FilterOrder=20, ...
    HalfPowerFrequency1=500,HalfPowerFrequency2=560, ...
    SampleRate=fs);
freqz(d,[],fs)

模拟 IIR 低通滤波器的比较

打开实时脚本

设计截止频率为 2 GHz 的五阶模拟巴特沃斯低通滤波器。乘以 $2 π$ 以将频率转换为弧度/秒。计算滤波器在 4096 个点上的频率响应。

n = 5;
wn = 2*pi*2e9;
w = 2*pi*1e9*logspace(-2,1,4096)';

[zb,pb,kb] = butter(n,wn,"s");
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,w);
gdb = -diff(unwrap(angle(hb)))./diff(wb);

设计一个五阶切比雪夫 I 型滤波器，其通带边缘频率为 2 GHz，通带波纹为 3 dB。计算它的频率响应。

wp = wn;

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,wp,"s");
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,w);
gd1 = -diff(unwrap(angle(h1)))./diff(w1);

设计一个五阶切比雪夫 II 型滤波器，其阻带边缘频率为 2.5 GHz，阻带衰减为 30 dB。计算它的频率响应。

ws = 2*pi*2.5e9;

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,ws,"s");
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,w);
gd2 = -diff(unwrap(angle(h2)))./diff(w2);

设计一个具有相同的通带和阻带边缘频率和 3 dB 通带波纹、30 dB 阻带衰减的五阶椭圆滤波器。计算它的频率响应。

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,wp,"s");
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,w);
gde = -diff(unwrap(angle(he)))./diff(we);

设计一个具有相同边缘频率的 5 阶贝塞尔滤波器。计算它的频率响应。

[zf,pf,kf] = besself(n,wn);
[bf,af] = zp2tf(zf,pf,kf);
[hf,wf] = freqs(bf,af,w);
gdf = -diff(unwrap(angle(hf)))./diff(wf);

对衰减绘图，以分贝为单位。以千兆赫为单位表示频率。比较滤波器。

fGHz = [wb w1 w2 we wf]/(2e9*pi);
plot(fGHz,mag2db(abs([hb h1 h2 he hf])))
axis([0 5 -45 5])
grid on
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Attenuation (dB)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"], ...
    Location="southwest")

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Frequency (GHz), ylabel Attenuation (dB) contains 5 objects of type line. These objects represent butter, cheby1, cheby2, ellip, besself.

巴特沃斯和切比雪夫 II 型滤波器具有平坦的通带和宽过渡带。切比雪夫 I 型和椭圆滤波器滚降更快，但有通带波纹。切比雪夫 II 型设计函数的频率输入设置阻带的起点，而不是通带的终点。与巴特沃斯和切比雪夫滤波器相比，椭圆滤波器具有更陡峭的滚降特征，但其通带和阻带内均呈等波纹特征。在这四种经典滤波器类型中，椭圆滤波器通常能以最低的滤波器阶数满足一组给定的滤波器性能设定。

绘制采样中的群延迟。以千兆赫表示频率，以纳秒表示群延迟。比较滤波器。贝塞尔滤波器沿通带具有大致恒定的群延迟。

gdns = [gdb gd1 gd2 gde gdf]*1e9;
gdns(gdns<0) = NaN;
loglog(fGHz(2:end,:),gdns)
grid on
xlabel("Frequency (GHz)")
ylabel("Group delay (ns)")
legend(["butter" "cheby1" "cheby2" "ellip" "besself"], ...
    Location="southwest")

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Frequency (GHz), ylabel Group delay (ns) contains 5 objects of type line. These objects represent butter, cheby1, cheby2, ellip, besself.

级联高通巴特沃斯滤波器

打开实时脚本

设计截止频率为 300 Hz、采样率为 1000 Hz 的九阶高通巴特沃斯滤波器。以级联二阶节形式返回滤波器系统的系数。

Wn = 300/(1000/2);
[B,A] = butter(9,Wn,"high","ctf")

B = 5×3

    0.2544   -0.2544         0
    0.2544   -0.5088    0.2544
    0.2544   -0.5088    0.2544
    0.2544   -0.5088    0.2544
    0.2544   -0.5088    0.2544

A = 5×3

    1.0000    0.1584         0
    1.0000    0.3264    0.0561
    1.0000    0.3575    0.1570
    1.0000    0.4189    0.3554
    1.0000    0.5304    0.7165

绘制滤波器的幅值响应。

filterAnalyzer(B,A)

输入参数

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`n` — 滤波器阶数
最大为 500 的整数标量

滤波器阶数，指定为小于或等于 500 的整数标量。对于带通和带阻设计，n 表示滤波器阶数的一半。

数据类型: double

`Wn` — 截止频率
标量 | 二元素向量

截止频率，指定为标量或二元素向量。截止频率是滤波器幅值响应为 1/√2 时的频率。

如果 Wn 是标量，则 butter 用于设计截止频率为 Wn 的低通或高通滤波器。
如果 Wn 是二元素向量 [w1 w2]，其中 w1 < w2，则 butter 用于设计截止频率下限为 w1 且截止频率上限为 w2 的带通或带阻滤波器。
对于数字滤波器，截止频率必须介于 0 与 1 之间，其中 1 对应于奈奎斯特速率（即采样率的一半）或 π 弧度/采样点。
对于模拟滤波器，截止频率必须用弧度/秒表示，并且可以取任何正值。

数据类型: double

`ftype` — 滤波器类型
`"low"` | `"bandpass"` | `"high"` | `"stop"`

滤波器类型，指定为以下项之一：

"low" 指定截止频率为 Wn 的低通滤波器。"low" 是标量 Wn 的默认值。
"high" 指定截止频率为 Wn 的高通滤波器。
如果 Wn 是二元素向量，则 "bandpass" 指定阶数为 2n 的带通滤波器。当 Wn 有两个元素时，"bandpass" 是默认值。
如果 Wn 是二元素向量，则 "stop" 指定阶数为 2n 的带阻滤波器。

输出参量

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`b,a` — 传递函数系数
行向量

滤波器的传递函数系数，以行向量形式返回。给定滤波器阶数 n，该函数以具有 r 个元素的向量形式返回 b 和 a，其中：对于低通和高通滤波器，r = n+1，对于带通和带阻滤波器，r = 2*n+1。

传递函数用 b = [b₁ b₂ ⋯ b_r] 和 a = [a₁ a₂ ⋯ a_r] 表示，如下列各项之一所示：

$H (z) = \frac{b_{1} + b_{2} z^{- 1} + \dots + b_{r} z^{- (r - 1)}}{a_{1} + a_{2} z^{- 1} + \dots + a_{r} z^{- (r - 1)}}$ 用于数字滤波器。
$H (s) = \frac{b_{1} s^{r - 1} + b_{2} s^{r - 2} + \dots + b_{r}}{a_{1} s^{r - 1} + a_{2} s^{r - 2} + \dots + a_{r}}$ 用于模拟滤波器。

数据类型: double

`z,p,k` — 零点、极点和增益
列向量、标量

滤波器的零点、极点和增益，以两个列向量和一个标量形式返回。给定滤波器阶数 n，该函数以具有 r 个元素的向量形式返回 z 和 p，其中：对于低通和高通滤波器，r = n，对于带通和带阻滤波器，r = 2*n。

传递函数用 z = [z₁ z₂ ⋯ z_r]、p = [p₁ p₂ ⋯ p_r] 和 k 表示，如下列各项之一所示：

$H (z) = k \frac{(1 - z_{1} z^{- 1}) (1 - z_{2} z^{- 1}) \dots (1 - z_{r} z^{- 1})}{(1 - p_{1} z^{- 1}) (1 - p_{2} z^{- 1}) \dots (1 - p_{r} z^{- 1})}$ 用于数字滤波器。
$H (s) = k \frac{(s - z_{1}) (s - z_{2}) \dots (s - z_{r})}{(s - p_{1}) (s - p_{2}) \dots (s - p_{r})}$ 用于模拟滤波器。

数据类型: double

`A,B,C,D` — 状态空间表示
矩阵

滤波器的状态空间表示，以矩阵形式返回。如果 r = n（对于低通和高通设计）或 r = 2n（对于带通和带阻滤波器），则 A 为 r×r，B 为 r×1，C 为 1×r，而 D 为 1×1。

状态空间矩阵通过以下方程组之一使状态向量 x、输入 u 和输出 y 相关。

对于数字滤波器：

$\begin{matrix} x (k + 1) = A x (k) + B u (k) \\ y (k) = C x (k) + D u (k) . \end{matrix}$
对于模拟滤波器：

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u . \end{array}$

数据类型: double

`B,A` — 级联传递函数 (CTF) 系数
行向量 | 矩阵

级联传递函数 (CTF) 系数，以行向量或矩阵形式返回。B 和 A 分别列出级联传递函数的分子系数和分母系数。

B 和 A 的大小分别为 L×(m +1) 和 L×(n +1)。该函数将 A 的第一列返回为 1，因此当 A 是行向量时，A(1) = 1。

L 表示 CTF 节的数量。
m 表示 CTF 分子的阶数。
n 表示 CTF 分母的阶数。

butter 函数返回具有以下阶数设定的 CTF 系数：

m = n = 2 用于低通和高通滤波器。
m = n = 4 用于带通和带阻滤波器。

注意

要自定义 CTF 系数计算，例如在 CTF 系数中设置不同阶或自定义增益定标，请指定返回 z,p,k，然后使用 zp2ctf 获得 B,A。

有关级联传递函数格式和系数矩阵的详细信息，请参阅Return Digital Filters in CTF Format。

`gS` — 总系统增益
实数值标量

自 R2024b 起

总系统增益，以实数值标量形式返回。

如果指定返回 gS，则 butter 函数会对分子系数进行归一化，使 B 的第一列为 1，并在 gS 中返回总系统增益。
如果不指定返回 gS，则 butter 函数会使用 scaleFilterSections 函数将系统增益均匀分布在所有系统节上。

详细信息

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传递函数和 CTF

传递函数语法的数值不稳定性

一般情况下，使用级联传递函数（"ctf" 语法）来设计 IIR 数字滤波器。如果使用传递函数（任何 [b,a] 语法）设计滤波器，可能会遇到数值不稳定的问题。这些不稳定性是舍入误差造成的，并且可能在阶数 n 小至 4 时出现。此示例说明了这一限制。

n = 6;
Fs = 200e6;
Wn = [0.5e6 6e6]/(Fs/2);
ftype = "bandpass";

% Transfer Function (TF) design
[b,a] = butter(n,Wn,ftype);    % This is an unstable filter

% CTF design
[B,A] = butter(n,Wn,ftype,"ctf");

% Compare frequency responses
[hTF,f] = freqz(b,a,8192,Fs);
hCTF = freqz(B,A,8192,Fs);

semilogx(f/1e6,db(hTF),".-",f/1e6,db(hCTF))
grid on
legend(["TF Design" "CTF Design"])
xlabel("Frequency (MHz)")
ylabel("Magnitude (dB)")

Figure contains an axes object. The axes object with xlabel Frequency (MHz), ylabel Magnitude (dB) contains 2 objects of type line. These objects represent TF Design, CTF Design.

算法

巴特沃斯滤波器的幅值响应在通带内具有最大平坦度，并在整体上呈现单调性。这种平滑是以降低滚降陡度为代价的。对于给定滤波器阶数，椭圆和切比雪夫滤波器通常提供更陡的滚降。

butter 使用一个五步算法：

它使用函数 buttap 查找低通模拟原型的极点、零点和增益。
它将极点、零点和增益转换为状态空间形式。
在设计数字滤波器时，它会将指定的数字频率 Wp 或频率 [w1 w2] 预修正到对应的模拟频率。
如果需要，它使用状态空间变换将低通滤波器转换为具有所需频率约束的带通、高通或带阻滤波器。
在设计数字滤波器时，它使用 bilinear 通过双线性变换将模拟滤波器转换为数字滤波器。经过仔细调整频率，模拟滤波器和数字滤波器在 Wn 或 w1 和 w2 处可具有相同的频率响应幅值。
根据需要，它将状态空间滤波器转换回其传递函数或零极点增益形式。

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

butter 函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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R2026b: 使用基于线程的环境

您可以在基于线程的环境中使用 butter。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

R2024b: 使用级联传递函数设计数字滤波器

butter 函数支持级联传递函数 (CTF) 格式的输出。

另请参阅

App

滤波器分析器 | 滤波器设计工具

函数

besself | buttap | buttord | cheby1 | cheby2 | ctffilt | designfilt | ellip | filter | freqz | maxflat | sosfilt | zp2ctf

butter

语法

描述

示例

低通巴特沃斯传递函数

带阻巴特沃斯滤波器

高通巴特沃斯滤波器

带通巴特沃斯滤波器

模拟 IIR 低通滤波器的比较

级联高通巴特沃斯滤波器

输入参数

n — 滤波器阶数 最大为 500 的整数标量

Wn — 截止频率 标量 | 二元素向量

ftype — 滤波器类型 "low" | "bandpass" | "high" | "stop"

输出参量

b,a — 传递函数系数 行向量

z,p,k — 零点、极点和增益 列向量、标量

A,B,C,D — 状态空间表示 矩阵

B,A — 级联传递函数 (CTF) 系数 行向量 | 矩阵

gS — 总系统增益 实数值标量

详细信息

传递函数和 CTF

算法

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

版本历史记录

R2026b: 使用基于线程的环境

R2024b: 使用级联传递函数设计数字滤波器

另请参阅

App

函数

`n` — 滤波器阶数
最大为 500 的整数标量

`Wn` — 截止频率
标量 | 二元素向量

`ftype` — 滤波器类型
`"low"` | `"bandpass"` | `"high"` | `"stop"`

`b,a` — 传递函数系数
行向量

`z,p,k` — 零点、极点和增益
列向量、标量

`A,B,C,D` — 状态空间表示
矩阵

`B,A` — 级联传递函数 (CTF) 系数
行向量 | 矩阵

`gS` — 总系统增益
实数值标量

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。