butter

[b,a] = butter(n,Wn) 返回归一化截止频率为 Wn 的 n 阶低通数字 Butterworth 滤波器的传递函数系数。

[b,a] = butter(n,Wn,ftype) 用于根据 ftype 的值和 Wn 的元素数目，设计低通、高通、带通或带阻 Butterworth 滤波器。由此得到的带通和带阻设计的阶数都为 2n。

注意：有关影响传递函数形成的数值问题的信息，请参阅限制。

[z,p,k] = butter(___) 用于设计低通、高通、带通或带阻数字 Butterworth 滤波器，并返回其零点、极点和增益。此语法可以包含先前语法中的任何输入参数。

[A,B,C,D] = butter(___) 用于设计低通、高通、带通或带阻数字 Butterworth 滤波器，并返回指定其状态空间表示的矩阵。

[___] = butter(___,'s') 用于设计截止角频率为 Wn 的低通、高通、带通或带阻模拟 Butterworth 滤波器。

示例

低通 Butterworth 传递函数

设计截止频率为 300 Hz 的 6 阶低通 Butterworth 滤波器，对于以 1000 Hz 的速率采样的数据，截止频率对应于 $0.6 π$ 弧度/采样点。绘制其幅值和相位响应。用它对长度为 1000 个采样的随机信号进行滤波。

fc = 300;
fs = 1000;

[b,a] = butter(6,fc/(fs/2));

freqz(b,a,[],fs)

subplot(2,1,1)
ylim([-100 20])

Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Phase contains an object of type line. Axes object 2 with title Magnitude contains an object of type line.

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

带阻 Butterworth 滤波器

设计一个 6 阶带阻 Butterworth 滤波器，其归一化边缘频率为 $0.2 π$ 和 $0.6 π$ 弧度/采样点。绘制其幅值和相位响应。用它对随机数据进行滤波。

[b,a] = butter(3,[0.2 0.6],'stop');
freqz(b,a)

Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title Phase contains an object of type line. Axes object 2 with title Magnitude contains an object of type line.

dataIn = randn(1000,1);
dataOut = filter(b,a,dataIn);

高通 Butterworth 滤波器

设计一个 9 阶高通 Butterworth 滤波器。指定截止频率为 300 Hz，对于以 1000 Hz 的速率采样的数据，截止频率对应于 $0.6 π$ 弧度/采样点。绘制幅值和相位响应。将零点、极点和增益转换为二阶节，以供 fvtool 使用。

[z,p,k] = butter(9,300/500,'high');
sos = zp2sos(z,p,k);
fvtool(sos,'Analysis','freq')

{"String":"Figure Figure 1: Magnitude Response (dB) and Phase Response contains an axes object. The axes object with title Magnitude Response (dB) and Phase Response contains an object of type line.","Tex":"Magnitude Response (dB) and Phase Response","LaTex":[]}

带通 Butterworth 滤波器

设计一个 20 阶带通 Butterworth 滤波器，其截止频率下限为 500 Hz，截止频率上限为 560 Hz。指定采样率为 1500 Hz。使用状态空间表示。使用 designfilt 设计一个相同的滤波器。

[A,B,C,D] = butter(10,[500 560]/750);
d = designfilt('bandpassiir','FilterOrder',20, ...
    'HalfPowerFrequency1',500,'HalfPowerFrequency2',560, ...
    'SampleRate',1500);

将状态空间表示转换为二阶节。使用 fvtool 可视化频率响应。

sos = ss2sos(A,B,C,D);
fvt = fvtool(sos,d,'Fs',1500);
legend(fvt,'butter','designfilt')

{"String":"Figure Figure 1: Magnitude Response (dB) contains an axes object. The axes object with title Magnitude Response (dB) contains 2 objects of type line. These objects represent butter, designfilt.","Tex":"Magnitude Response (dB)","LaTex":[]}

模拟 IIR 低通滤波器的比较

设计截止频率为 2 GHz 的五阶模拟 Butterworth 低通滤波器。乘以 $2 π$ 以将频率转换为弧度/秒。计算滤波器在 4096 个点上的频率响应。

n = 5;
f = 2e9;

[zb,pb,kb] = butter(n,2*pi*f,'s');
[bb,ab] = zp2tf(zb,pb,kb);
[hb,wb] = freqs(bb,ab,4096);

设计一个具有相同边缘频率和 3 dB 通带波纹的五阶 Chebyshev I 类滤波器。计算它的频率响应。

[z1,p1,k1] = cheby1(n,3,2*pi*f,'s');
[b1,a1] = zp2tf(z1,p1,k1);
[h1,w1] = freqs(b1,a1,4096);

设计一个具有相同边缘频率和 30 dB 阻带衰减的 5 阶 Chebyshev II 类滤波器。计算它的频率响应。

[z2,p2,k2] = cheby2(n,30,2*pi*f,'s');
[b2,a2] = zp2tf(z2,p2,k2);
[h2,w2] = freqs(b2,a2,4096);

设计一个具有相同边缘频率和 3 dB 通带波纹、30 dB 阻带衰减的五阶椭圆滤波器。计算它的频率响应。

[ze,pe,ke] = ellip(n,3,30,2*pi*f,'s');
[be,ae] = zp2tf(ze,pe,ke);
[he,we] = freqs(be,ae,4096);

对衰减绘图，以分贝为单位。以千兆赫为单位表示频率。比较滤波器。

plot(wb/(2e9*pi),mag2db(abs(hb)))
hold on
plot(w1/(2e9*pi),mag2db(abs(h1)))
plot(w2/(2e9*pi),mag2db(abs(h2)))
plot(we/(2e9*pi),mag2db(abs(he)))
axis([0 4 -40 5])
grid
xlabel('Frequency (GHz)')
ylabel('Attenuation (dB)')
legend('butter','cheby1','cheby2','ellip')

Figure contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type line. These objects represent butter, cheby1, cheby2, ellip.

Butterworth 和 Chebyshev II 类滤波器具有平坦的通带和宽过渡带。Chebyshev I 类和椭圆滤波器转降更快，但有通带波纹。Chebyshev II 类设计函数的频率输入设置阻带的起点，而不是通带的终点。

输入参数

`n` — 滤波器阶数
整数标量

滤波器阶数，指定为整数标量。对于带通和带阻设计，n 表示滤波器阶数的一半。

数据类型： double

`Wn` — 截止频率
标量 | 二元素向量

截止频率，指定为标量或二元素向量。截止频率是滤波器幅值响应为 1 / √2 时的频率。

如果 Wn 是标量，则 butter 用于设计截止频率为 Wn 的低通或高通滤波器。
如果 Wn 是二元素向量 [w1 w2]，其中 w1 < w2，则 butter 用于设计截止频率下限为 w1 且截止频率上限为 w2 的带通或带阻滤波器。
对于数字滤波器，截止频率必须介于 0 与 1 之间，其中 1 对应于奈奎斯特速率（即采样率的一半）或 π 弧度/采样点。
对于模拟滤波器，截止频率必须用弧度/秒表示，并且可以取任何正值。

数据类型： double

`ftype` — 滤波器类型
`'low'` | `'bandpass'` | `'high'` | `'stop'`

滤波器类型，指定为以下项之一：

'low' 指定截止频率为 Wn 的低通滤波器。'low' 是标量 Wn 的默认值。
'high' 指定截止频率为 Wn 的高通滤波器。
如果 Wn 是二元素向量，则 'bandpass' 指定阶数为 2n 的带通滤波器。当 Wn 有两个元素时，'bandpass' 是默认值。
如果 Wn 是二元素向量，则 'stop' 指定阶数为 2n 的带阻滤波器。

输出参数

`b,a` — 传递函数系数
行向量

滤波器的传递函数系数，对于低通滤波器和高通滤波器，以长度为 n + 1 的行向量形式返回；对于带通滤波器和带阻滤波器，以长度为 2n + 1 的行向量形式返回。

对于数字滤波器，传递函数用 b 和 a 表示为

$H (z) = \frac{B (z)}{A (z)} = \frac{b(1) + b(2) z^{- 1} + \dots + b(n+1) z^{- n}}{a(1) + a(2) z^{- 1} + \dots + a(n+1) z^{- n}} .$
对于模拟滤波器，传递函数用 b 和 a 表示为

$H (s) = \frac{B (s)}{A (s)} = \frac{b(1) s^{n} + b(2) s^{n - 1} + \dots + b(n+1)}{a(1) s^{n} + a(2) s^{n - 1} + \dots + a(n+1)} .$

数据类型： double

`z,p,k` — 零点、极点和增益
列向量、标量

滤波器的零点、极点和增益，以长度为 n（对于带通和带阻设计则为 2n）的两个列向量以及标量形式返回。

对于数字滤波器，传递函数用 z、p 和 k 表示为
$H (z) = k \frac{(1 - z(1) z^{- 1}) (1 - z(2) z^{- 1}) \dots (1 - z(n) z^{- 1})}{(1 - p(1) z^{- 1}) (1 - p(2) z^{- 1}) \dots (1 - p(n) z^{- 1})} .$
对于模拟滤波器，传递函数用 z、p 和 k 表示为
$H (s) = k \frac{(s - z(1)) (s - z(2)) \dots (s - z(n))}{(s - p(1)) (s - p(2)) \dots (s - p(n))} .$

数据类型： double

`A,B,C,D` — 状态空间矩阵
矩阵

滤波器的状态空间表示，以矩阵形式返回。如果 m = n（对于低通和高通设计）或 m = 2n（对于带通和带阻滤波器），则 A 为 m×m，B 为 m×1，C 为 1×m，而 D 为 1×1。

对于数字滤波器，状态空间矩阵与状态向量 x、输入 u 和输出 y 存在以下关系

$\begin{matrix} x (k + 1) = A x (k) + B u (k) \\ y (k) = C x (k) + D u (k) . \end{matrix}$
对于模拟滤波器，状态空间矩阵通过以下方程将状态向量 x、输入 u 和输出 y 相关

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u . \end{array}$

数据类型： double

详细信息