参数化拟合

使用库模型进行参数化拟合

参数化拟合涉及为一个或多个要进行数据拟合的模型寻找系数（参数）。数据假定本质上是统计数据，分为两部分：

数据 = 确定性部分 + 随机部分

确定性部分由参数化模型给出，随机部分通常描述为与数据相关联的误差：

数据 = 参数化模型 + 误差

该模型是自（预测变量）变量和一个或多个系数的函数。误差表示数据中服从特定概率分布（通常为高斯分布）的随机变异。变异的来源可能众多，但在处理测量数据时始终处于某一水平。也可能存在系统性变异，但系统性变异可能导致拟合模型无法良好地表示数据。

模型系数通常具有物理意义。例如，假设您收集了与放射性核素的单一衰变模式对应的数据，并且要估计衰变的半衰期 (T_1/2)。放射性衰变定律表明，放射性物质的活性随时间呈指数衰变。因此，拟合中使用的模型由下式给出：

其中 y₀ 是时间 t = 0 处的原子核数，λ 是衰变常量。数据可以描述为

y₀ 和 λ 均为由拟合估计的系数。由于 T_1/2 = ln(2)/λ，通过衰变常量拟合值可得到拟合半衰期。然而，由于数据包含一些误差，无法从数据中精确地确定方程的确定性部分。因此，系数和半衰期计算会有一些不确定性。如果不确定性可接受，则您就完成了数据拟合。如果不确定性不可接受，则您可能需要采取措施来降低不确定性 - 或者通过收集更多数据，或者通过减少测量误差和收集新数据并重复模型拟合。

对于其他没有相关理论来确定适用模型的问题，您也可以通过添加或删除项来修改模型，或用完全不同的模型来代替。

以下各节描述了 Curve Fitting Toolbox™ 参数化库模型。

选择模型类型

f = fit(x,y,"poly2")

fitoptions(poly2)

中心化并缩放数据

曲线拟合器中的大多数拟合都在拟合选项窗格中提供中心化并缩放选项。选择此选项时，App 会使用经过中心化并缩放的数据重新拟合模型。

为了缓解因变量尺度大而产生的数值问题（例如舍入误差），请对输入数据（也称为预测变量数据）进行归一化。中心化并缩放通常可以改善拟合效果，因为它允许所有变量以类似的方式对拟合做出贡献，从而减少数值不稳定性。使用此选项对输入进行归一化时，拟合系数的值会与原始数据下的结果不同，因此，对于系数具有物理意义的情形（例如地理数据中的东向坐标和北向坐标），或者拟合的目的是为了估算系数时，不应对输入数据进行归一化处理。

无论中心化并缩放状态如何，曲线拟合器中的图始终使用原始缩放。

在命令行中，要在拟合之前中心化并缩放数据，请使用 fit 函数并指定 Normalize="on"，或者使用 fitoptions 函数并将 options.Normalize 指定为 "on" 来创建 options 结构体。然后，使用具有指定选项的 fit 函数。

options = fitoptions;
options.Normalize = "on";
options
options = 

  basefitoptions with properties:

    Normalize: 'on'
      Exclude: []
      Weights: []
       Method: 'None'

load census
f1 = fit(cdate,pop,"poly3",options)

高级选项

options = fitoptions;
options.Normalize = 'on';
options
options = 

  basefitoptions with properties:

    Normalize: 'on'
      Exclude: []
      Weights: []
       Method: 'None'

load census
f1 = fit(cdate,pop,"poly3",options);
f2 = fit(cdate,pop,"exp1",options);
f3 = fit(cdate,pop,"cubicspline",options);

[f,gof,out] = fit(cdate,pop,"smoothingspline");
smoothparam = out.p
smoothparam =
    0.0089

options = fitoptions("Method","SmoothingSpline","SmoothingParam",0.0098);
[f,gof,out] = fit(cdate,pop,"smoothingspline",options);

系数约束：指定边界和优化起点

通过指定系数的上下限来约束系数，并为系数提供起点。在命令行中，使用 fit 或 fitoptions 函数并指定 Lower、Upper 和 StartPoint 选项。只有非线性拟合类型才能指定起始点，因为线性拟合类型不需要起始点。要了解有关默认约束和优化起始点的更多信息，请参阅优化的起点和默认约束。

 系数参数

有关这些拟合选项的详细信息，请参阅 lsqcurvefit (Optimization Toolbox) 函数。

指定要拟合的约束点（需要 Optimization Toolbox）

通过在 Curve Fitter 中添加约束点或在命令行中使用 ConstraintPoints 名称-值参量，将回归拟合类型限制为通过指定的点。非参数化拟合（即插值、平滑样条和局部线性回归拟合）不接受约束点。

约束点允许通过原点、一个或多个数据点或任何任意坐标来对曲线或曲面进行拟合。